Calcule os limites a seguir:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que temos de informações em cada item (não resolvo nada aqui, só organizo).
(a) Calcular
.
(b) Calcular
.
(c) Calcular
.
(d) Calcular
.
(e) Calcular
.
(f) Calcular
.
Informações úteis observadas nos enunciados:
- Todos os limites são do tipo que envolvem funções trigonométricas próximas de zero (ou de ponto onde o argumento da seno é zero).
- Em (a)–(d) e (f) os pontos de interesse são
. Em (e) o ponto de interesse é . - Vários itens darão forma
, então teremos que usar limites trigonométricos básicos e manipulações algébricas.
Passo 2
Apresentar e demonstrar o resultado fundamental que vamos usar várias vezes:
.
Explicação didática (prova clássica por desigualdades/squeeze): para
vale a desigualdade geométrica conhecida
Ambos os lados da desigualdade tendem a
quando
(pois
). Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue
Observação prática: essa é a peça-chave para limites trigonométricos pequenos — sempre que surgir
com algo dividido por
, convém reescrever em termos de
.
Passo 3
Outros limites derivados e como obtê-los a partir do anterior:
-
.
Justificativa:. Quando temos e , logo o quociente tende a . -
.
Justificativa usando identidade trigonométrica:. Então
Como
, o fator entre parênteses tende a
, daí o limite é
.
Esses dois resultados (e o primeiro) são suficientes para resolver todos os itens.
Passo 4
Resolver (a):
.
Reescrevo para usar o limite conhecido
. Faço multiplicação e divisão por
:
Quando
temos
, então o limite é
Passo 5
Resolver (b):
.
Manipulo para usar
:
Como
quando
, o limite é
Passo 6
Resolver (c):
.
Escrevo como
Como
para
, temos
. Portanto o limite é
Passo 7
Resolver (d):
.
Usar a identidade
com
:
Avalio o fator final:
Como o quadrado do quociente tende a
, o produto total tende a
Quando
isso tende a
. Portanto
(Intuição:
é da ordem de
, dividir por
dá algo da ordem de
, que vai a zero.)
Passo 8
Resolver (e):
.
Primeiro observo a forma: quando
,
e
, então é caso
. Faço a substituição
Escrevo o denominador fatorado:
Assim a expressão fica
Ao tomar o limite
(logo
) temos
e
. Portanto o limite é
Passo 9
Resolver (f):
.
Faço fator comum
no numerador e denominador (válido para
, e limite ignora o ponto exato):
Quando
temos
, então o numerador tende a
e o denominador tende a
. Portanto o limite é