Calcule os limites a seguir:
(a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(7 x)}{8 x}
(b) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2}(3 x)}{x^{2}}
(c) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(3 x)}{x}
(d) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (3 x)}{x}
(e) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\operatorname{sen}\left(4-x^{2}\right)}{16-x^{4}}
(f) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\operatorname{sen} x}{x+\operatorname{sen} x}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que temos de informações em cada item (não resolvo nada aqui, só organizo).
(a) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(7x)}{8x}.
(b) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}^{2}(3x)}{x^{2}}.
(c) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(3x)}{x}.
(d) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x}.
(e) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}\bigl(4-x^{2}\bigr)}{16-x^{4}}.
(f) Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{sen}x}{x+\operatorname{sen}x}.
Informações úteis observadas nos enunciados:
  • Todos os limites são do tipo que envolvem funções trigonométricas próximas de zero (ou de ponto onde o argumento da seno é zero).
  • Em (a)–(d) e (f) os pontos de interesse são x=0. Em (e) o ponto de interesse é x=2.
  • Vários itens darão forma 0/0, então teremos que usar limites trigonométricos básicos e manipulações algébricas.

Passo 2

Apresentar e demonstrar o resultado fundamental que vamos usar várias vezes: \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}=1.
Explicação didática (prova clássica por desigualdades/squeeze): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica conhecida
\cos t < \frac{\operatorname{sen}t}{t} < 1.
Ambos os lados da desigualdade tendem a 1 quando t\to 0 (pois \lim_{t\to0}\cos t =1). Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}=1.
Observação prática: essa é a peça-chave para limites trigonométricos pequenos — sempre que surgir \operatorname{sen}(a x) com algo dividido por x, convém reescrever em termos de \dfrac{\operatorname{sen}(a x)}{a x}.

Passo 3

Outros limites derivados e como obtê-los a partir do anterior:
  1. \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{tg}t}{t}=1.
    Justificativa: \displaystyle \frac{\operatorname{tg}t}{t}=\frac{\operatorname{sen}t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t}. Quando t\to0 temos \dfrac{\operatorname{sen}t}{t}\to1 e \cos t\to1, logo o quociente tende a 1.
  2. \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}.
    Justificativa usando identidade trigonométrica: 1-\cos t=2\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr). Então
\frac{1-\cos t}{t^{2}}=2\cdot\frac{\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)}{t^{2}} =2\left(\frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)}{\tfrac{t}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{1}{4}.
Como \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1, o fator entre parênteses tende a 1, daí o limite é 2\cdot 1^{2}\cdot \tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.
Esses dois resultados (e o primeiro) são suficientes para resolver todos os itens.

Passo 4

Resolver (a): \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(7x)}{8x}.
Reescrevo para usar o limite conhecido \dfrac{\operatorname{sen}t}{t}\to1. Faço multiplicação e divisão por 7:
\frac{\operatorname{sen}(7x)}{8x} =\frac{\operatorname{sen}(7x)}{7x}\cdot\frac{7}{8}.
Quando x\to0 temos \dfrac{\operatorname{sen}(7x)}{7x}\to 1, então o limite é
1\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{8}.

Passo 5

Resolver (b): \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}^{2}(3x)}{x^{2}}.
Manipulo para usar \dfrac{\operatorname{sen}t}{t}\to1:
\frac{\operatorname{sen}^{2}(3x)}{x^{2}} =\left(\frac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}\right)^{2}\cdot 9.
Como \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}\to1 quando x\to0, o limite é
1^{2}\cdot 9 = 9.

Passo 6

Resolver (c): \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(3x)}{x}.
Escrevo como
\frac{\operatorname{tg}(3x)}{x}=\frac{\operatorname{tg}(3x)}{3x}\cdot 3.
Como \dfrac{\operatorname{tg}t}{t}\to1 para t\to0, temos \dfrac{\operatorname{tg}(3x)}{3x}\to1. Portanto o limite é
1\cdot 3 = 3.

Passo 7

Resolver (d): \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x}.
Usar a identidade 1-\cos u = 2\operatorname{sen}^{2}\!(u/2) com u=3x:
\frac{1-\cos(3x)}{x} =2\cdot\frac{\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr)}{x} =2\left(\frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{3x}{2}\bigr)}{\tfrac{3x}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{(3x/2)^{2}}{x}.
Avalio o fator final:
\frac{(3x/2)^{2}}{x}=\frac{9x^{2}}{4x}=\frac{9}{4}x.
Como o quadrado do quociente tende a 1, o produto total tende a
2\cdot 1 \cdot \frac{9}{4}x = \frac{9}{2}x.
Quando x\to0 isso tende a 0. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(3x)}{x}=0.
(Intuição: 1-\cos(3x) é da ordem de x^{2}, dividir por x dá algo da ordem de x, que vai a zero.)

Passo 8

Resolver (e): \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{\operatorname{sen}\bigl(4-x^{2}\bigr)}{16-x^{4}}.
Primeiro observo a forma: quando x\to2, 4-x^{2}\to 0 e 16-x^{4}\to 0, então é caso 0/0. Faço a substituição
u=4-x^{2}\quad\text{(então \(u\to0\) quando \(x\to2\))}.ã
Escrevo o denominador fatorado:
16-x^{4}=(4-x^{2})(4+x^{2})=u(4+x^{2}).
Assim a expressão fica
\frac{\operatorname{sen}(u)}{u(4+x^{2})}=\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\cdot\frac{1}{4+x^{2}}.
Ao tomar o limite x\to2 (logo u\to0) temos \dfrac{\operatorname{sen}u}{u}\to1 e 4+x^{2}\to 4+2^{2}=8. Portanto o limite é
\frac{1}{8}.

Passo 9

Resolver (f): \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-\operatorname{sen}x}{x+\operatorname{sen}x}.
Faço fator comum x no numerador e denominador (válido para x\neq0, e limite ignora o ponto exato):
\frac{x-\operatorname{sen}x}{x+\operatorname{sen}x} =\frac{x\bigl(1-\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\bigr)}{x\bigl(1+\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\bigr)} =\frac{1-\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}}{1+\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}}.
Quando x\to0 temos \dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\to1, então o numerador tende a 1-1=0 e o denominador tende a 1+1=2. Portanto o limite é
\frac{0}{2}=0.

Resposta

\dfrac{7}{8}
9
3
0
\dfrac{1}{8}
0

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