Calcule os limites a seguir:
lim x 1 x^4-2 x+1x^2-1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente tratando de limites. Para resolver, a gente vai precisar saber como simplificar expressões algébricas e identificar formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^4 - 2 cdot 1 + 11^2 - 1 = 1 - 2 + 11 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite facilmente:
A gente caiu na forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para continuar.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador. Primeiro, observamos que o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
x^4 - 2x + 1 = (x^4 + 1) - 2x
Para o numerador , vamos tentar fatorar. Notamos que:
Embora não seja uma fatoração direta, podemos tentar dividir o numerador pelo denominador fatorado para simplificar.

Passo 4

Vamos dividir x^4 - 2x + 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) + 0 por lim x 1 (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)(x - 1)(x + 1) usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini. Ao fazer isso, encontramos que:
lim x 1 x^3 + x^2 + x + 1x + 1
Portanto, podemos reescrever o limite como:
Agora, podemos cancelar o termo que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora conseguimos substituir 1^3 + 1^2 + 1 + 11 + 1 = 1 + 1 + 1 + 12 = 42 = 2 sem problemas:

Resposta

O limite é igual a .

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