Derive. Indique pelo menos uma regra de derivação que você usou para encontrar sua resposta. Apresente todos os cálculos
h(t)=sen(ln (1-t)^2)

Passo 1

Temos a função h(t)=sinl(ln(1-t)^2r). O conteúdo aqui é derivação de função composta, e vamos precisar da regra da cadeia, da derivada de sin(x), da derivada de ln(x) e da derivada de uma potência.

Passo 2

Definimos uma função intermediária u(t)=lnl((1-t)^2r), de modo que h(t)=sinl(u(t)r). Pela regra da cadeia,
h'(t)=cosl(u(t)r)cdot u'(t)

Passo 3

Agora, para achar u'(t), escrevemos u(t)=ln(v(t)) com v(t)=(1-t)^2. Novamente pela regra da cadeia e pela derivada de ln(x),
u'(t)=v'(t)v(t)

Passo 4

A seguir calculamos (v’(t)=\frac{d}{dt}\bigl((1-t)^2\bigr)=2(1-t)\cdot(-1)=-2(1-t).] Substituindo em u'(t) obtemos
u'(t)=-2(1-t)(1-t)^2=-21-t

Passo 5

Finalmente, juntando tudo na expressão de h'(t),
h'(t)=cosl(ln((1-t)^2)r)cdotl(-21-tr)=-2cosl(ln((1-t)^2)r)1-t

Resposta

-\frac{2\cos\bigl(\ln((1-t)^2)\bigr)}{1-t}

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