Questão extra (opcional)
Determine a integral abaixo. Descreva quais métodos você vai usar para resolvê-la. Apresente todos os cálculos.
integral e^x(e^x-1)(e^x+1) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular
integral e^x(e^x-1)(e^x+1),dx
Conteúdo: técnicas de integração, em particular substituição e frações parciais.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=e^x. Assim, du=e^xdx e a integral fica
integral du(u-1)(u+1) .

Passo 3

Para resolver essa integral racional, aplicamos frações parciais. Escrevemos
1(u-1)(u+1) = Au-1 + Bu+1
Multiplicando por (u-1)(u+1) obtemos
1 = A(u+1) + B(u-1)
Tomando u=1 1=2A então A=tfrac12. Tomando u=-1 1=-2B então B=-tfrac12.

Passo 4

Substituindo os coeficientes, a integral vira
integral l(1/2u-1 - 1/2u+1r)du = 12 integral duu-1 - 12 integral duu+1
Integrando, obtemos
12ln|u-1| - 12ln|u+1| + C

Passo 5

Voltando à variável original u=e^x, a solução final é
12lnl|e^x-1e^x+1r| + C

Resposta

tfrac12lnl|e^x-1e^x+1r| + C

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