Calcule os limites a seguir:
lim x 2^- x+2x^2-4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ 2^{-} $) da função $ \frac{x+2}{x^{2}-4} $. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, onde o objetivo é entender o comportamento da função perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o denominador $ x^{2} - 4 $ quando $ x $ se aproxima de 2. Podemos fatorar esse denominador:
x^2 - 4
Isso nos ajuda a ver que, quando $ x $ está muito perto de 2, o denominador está se aproximando de zero, o que pode causar o limite a tender para infinito ou menos infinito.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, quando $ x $ é um pouco menor que 2 ($ x \rightarrow 2^{-} $).
  • Numerador ($ x + 2 $): Se $ x $ está perto de 2, $ x + 2 $ está perto de 4. Então o numerador está positivo e próximo de 4.
  • Denominador ($ x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2) $):
    • $ x - 2 $ está se aproximando de zero, mas como $ x $ é menor que 2, $ x - 2 $ é negativo.
    • $ x + 2 $ está próximo de 4, que é positivo.
Então, o denominador está se aproximando de zero através de valores negativos.

Passo 4

Com isso, a fração completa fica:
x + 2x^2 - 4 = positivo próximo a 4negativo próximo a 0 óó
Quando dividimos um número positivo por um número negativo que está se aproximando de zero, o valor da fração fica muito grande em módulo e negativo. Ou seja, a fração tende a -infty.

Resposta

lim x 2^- x+2x^2-4 = -infty

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