Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e.
(f) lim x infty(x^2+1x^2-3)^x^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está dentro do estudo de limites em cálculo, mais especificamente tratando de limites que envolvem potências. Para resolver, vamos usar o limite fundamental .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observamos que x^2+1x^2-3 = 1 + 4x^2-3 pode ser reescrita de uma forma que se assemelha a x^2+1x^2-3 = (x^2-3)+4x^2-3 = 1 + 4x^2-3 .
Isso porque:

Passo 3

Agora, a expressão fica:
(1 + 4x^2-3)^x^2
Para aplicar o limite fundamental que envolve (1 + 4x^2)^x^2 , queremos ter algo do tipo . No nosso caso, temos e na potência. Para facilitar, vamos aproximar por quando tende ao infinito, pois o se torna irrelevante.
Então, podemos aproximar:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão para se parecer com o limite fundamental. Podemos pensar em (1 + 4x^2)^x^2 = ((1 + 4x^2)^x^24)^4 , então temos:
(1 + 4x^2)^x^24 approx e
Note que tende a quando tende ao infinito. No nosso caso, , então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão, temos:
(e)^4 = e^4

Resposta

O limite é .

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