Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e.
(e) lim x infty(x+1x-1)^x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima do infinito. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites que envolvem exponenciais e a constante .

Passo 2

Vamos começar simplificando a fração dentro do limite. Podemos reescrever x+1x-1 = x-1 + 2x-1 = 1 + 2x-1 da seguinte maneira:
(1 + 2x-1)^x
Assim, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, observe que quando limx to infty (1 + ax)^x = e^a tende ao infinito, se aproxima de 0. Então, temos uma expressão do tipo , onde . Sabemos que:

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde limx to infty (1 + 2x-1)^x = e^2 , temos:

Resposta

O limite é .

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