Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e.
(b) lim x -infty(1+1x)^x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -infty(1+1x)^x+2. Esse exercício faz parte do estudo de limites em funções exponenciais. Para resolver, vamos utilizar o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e. Vamos precisar manipular a expressão para encaixar nesse padrão.

Passo 2

Primeiro, observe que quando x tende a -infty, podemos fazer uma substituição para transformar o limite de x -infty para t infty. Vamos definir t = -x, assim, quando x -infty, t infty. Substituindo na expressão:
(1+1x)^x+2 = (1 - 1t)^-t + 2

Passo 3

Agora, vamos separar a expressão em duas partes para facilitar:
(1 - 1t)^-t cdot (1 - 1t)^2
A primeira parte, (1 - 1t)^-t, se assemelha ao limite fundamental que sabemos que tende a e quando t infty. Mas como temos um sinal negativo no expoente, isso vai inverter a base:
(1 - 1t)^-t = [(1 - 1t)^t]^-1
E sabemos que limt infty (1 - 1t)^t = 1e, então:
[(1 - 1t)^t]^-1 = e

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte: (1 - 1t)^2. Quando t tende a infinito, 1t tende a zero, então:
(1 - 1t)^2 approx 1^2 = 1

Passo 5

Multiplicando as duas partes que resolvemos:
e cdot 1 = e

Resposta

O limite é igual a e.

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