Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e.
(h) lim x 0 raiz[x]1-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcularmos o limite de raiz[x]1 - 2x quando x se aproxima de 0. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo potências e radicais, e vamos precisar usar uma das fórmulas fundamentais de limites que envolve o número e.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma mais fácil de trabalhar. A raiz x-ésima de (1 - 2x) pode ser escrita como (1 - 2x)^1/x. Então, nosso limite fica:
limx to 0 (1 - 2x)^1/x

Passo 3

Esse tipo de limite é parecido com a fórmula fundamental que menciona que lim x infty(1+1x)^x=e. Para adaptarmos isso ao nosso caso, precisamos manipular a expressão para se encaixar nessa forma.

Passo 4

Vamos identificar as partes da nossa expressão:
  • Temos (1 - 2x) que se assemelha a (1 + f(x)), onde f(x) = -2x.
  • O expoente é 1/x, que, quando x se aproxima de 0, faz com que 1/x tenda ao infinito.

Passo 5

Usamos a propriedade que, se limx to a f(x) = 0 e limx to a g(x) = infty, então:
limx to a (1 + f(x))^g(x) = e^limx to a f(x) cdot g(x)

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso:
  • f(x) = -2x
  • g(x) = 1/x
Calculamos o produto f(x) cdot g(x):
-2x cdot 1x = -2

Passo 7

Então, o limite fica:
limx to 0 (1 - 2x)^1/x = e^-2

Resposta

O limite é e^-2.

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