Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês podem usar o limite fundamental lim x infty(1+1x)^x=e.
(i) lim x 0(1+x)^1 / x

Passo 1

Então, temos o limite para calcular. Isso envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos usar o limite fundamental , onde é a base dos logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a comparação com o limite fundamental. Vamos chamar . Assim, quando se aproxima de 0, se aproxima de infinito ( ).

Passo 3

Reescrevendo o limite original com a substituição limx to 0(1+x)^1/x = limn to infty (1 + 1n)^n , temos:
Agora, esse novo limite é exatamente o limite fundamental que mencionamos no Passo 1.

Passo 4

Sabemos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
Portanto, substituindo de volta, concluímos que o limite original também é igual a .

Resposta

limx 0(1+x)^1 / x = e

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