Calcule o valor máximo da derivada direcional da função
no ponto
:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da derivada direcional da função
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que indica a taxa de variação da função em uma direção específica. Vamos precisar calcular o gradiente da função nesse ponto e depois descobrir a magnitude desse gradiente, que será o valor máximo da derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
De maneira semelhante, calculamos as derivadas em relação a
e
:
Passo 4
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
. Primeiro, calculamos
em
:
Substituindo na expressão das derivadas parciais:
Então, o gradiente em
é:
Passo 5
Para encontrar o valor máximo da derivada direcional, precisamos calcular a magnitude do gradiente em
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Vamos simplificar:
Portanto:
Resposta
O valor máximo da derivada direcional de
no ponto
é aproximadamente
.