Calcule o valor máximo da derivada direcional da função w = f(x, y, z) no ponto P0 :
(a) w = (x^2 + y^2 + z^2)^-1 ; P0(1, 2, -3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da derivada direcional da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que indica a taxa de variação da função em uma direção específica. Vamos precisar calcular o gradiente da função nesse ponto e depois descobrir a magnitude desse gradiente, que será o valor máximo da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
De maneira semelhante, calculamos as derivadas em relação a e :

Passo 4

Agora, avaliamos o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos em :
Substituindo na expressão das derivadas parciais:
Então, o gradiente em é:

Passo 5

Para encontrar o valor máximo da derivada direcional, precisamos calcular a magnitude do gradiente em . A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Vamos simplificar:
Portanto:

Resposta

O valor máximo da derivada direcional de no ponto é aproximadamente .

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