Calcule os limites a seguir usando as propriedades de Limites.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+9 x+8}{x^{2}-6 x-7}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+9x+8}{x^{2}-6x-7}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é x^{2}+9x+8.
  • A função no denominador é x^{2}-6x-7.
  • Queremos o limite quando x tende a 1.

Passo 2

Lembrete útil (propriedades de limites que vamos usar):
  • Se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem e \lim_{x\to a} g(x)\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}.
  • Polinômios são funções contínuas em todo ponto real, isto é, para um polinômio p(x) vale
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Essas duas ideias juntas permitem calcular limites de quocientes de polinômios por substituição direta, desde que o denominador no ponto não seja zero.

Passo 3

Calcular as limitações separadas por substituição (pois numerador e denominador são polinômios):
\lim_{x\to1}(x^{2}+9x+8) = 1^{2}+9\cdot1+8 = 1+9+8 = 18,
\lim_{x\to1}(x^{2}-6x-7) = 1^{2}-6\cdot1-7 = 1-6-7 = -12.
Observe que o limite do denominador é -12\neq 0, portanto a propriedade do quociente é aplicável.

Passo 4

Aplicando a propriedade do quociente de limites:
\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+9x+8}{x^{2}-6x-7}=\frac{18}{-12}.
Agora simplificamos a fração:
\frac{18}{-12}=-\frac{18}{12}=-\frac{3}{2}.

Resposta

-\dfrac{3}{2}

Exercícios relacionados