Calcule os limites a seguir usando as propriedades de Limites.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x-14}{x^{2}+10 x+16}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x^{2}-5x-14}{x^{2}+10x+16}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional (quociente de dois polinômios) em termos da variável x.
  • O ponto de interesse é x se aproximando de 2.
    A pergunta é: qual é o valor do limite quando x tende a 2?

Passo 2

Ideia e propriedades que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Polinômios são funções contínuas. Isso significa que para um polinômio p(x) vale
\lim_{x\to a} p(x) = p(a).
Ou seja, basta substituir x=a.
  • Propriedade de quociente de limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
  • Aqui f(x)=x^{2}-5x-14 e g(x)=x^{2}+10x+16. Ambos são polinômios, logo cada limite pode ser obtido por substituição direta; só precisamos checar que o limite do denominador não seja zero.

Passo 3

Calcular o limite do numerador por substituição direta (polinômio contínuo):
\lim_{x\to 2} \bigl(x^{2}-5x-14\bigr)=2^{2}-5\cdot 2-14.
Agora as contas passo a passo:
2^{2}=4,\qquad 5\cdot 2=10,
portanto
4-10-14 = 4-10 = -6,\quad -6-14 = -20.
Logo
\lim_{x\to 2} \bigl(x^{2}-5x-14\bigr) = -20.

Passo 4

Calcular o limite do denominador por substituição direta:
\lim_{x\to 2} \bigl(x^{2}+10x+16\bigr)=2^{2}+10\cdot 2+16.
Fazendo as contas:
2^{2}=4,\qquad 10\cdot 2=20,
portanto
4+20+16 = 24+16 = 40.
Então
\lim_{x\to 2} \bigl(x^{2}+10x+16\bigr) = 40.

Passo 5

Como o limite do denominador é 40\neq 0, podemos aplicar a propriedade do quociente de limites:
\lim_{x\to 2} \frac{x^{2}-5x-14}{x^{2}+10x+16} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to 2}\bigl(x^{2}-5x-14\bigr)}{\displaystyle\lim_{x\to 2}\bigl(x^{2}+10x+16\bigr)} = \frac{-20}{40}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 20:
\frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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