Calcule os limites a seguir usando as propriedades de Limites.
\lim _{x \rightarrow 1}\left[(x+4)^{2} \cdot(x+2)^{-1}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left[(x+4)^{2}\cdot(x+2)^{-1}\right].
Informações dadas:
  • A expressão a ser avaliada é \,(x+4)^{2}\cdot(x+2)^{-1}\,.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
    O que se pede: encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Reescrevo a expressão de forma mais clara como uma fração:
(x+4)^{2}\cdot(x+2)^{-1}=\frac{(x+4)^{2}}{x+2}.
Isso facilita ver que podemos aplicar regras de limites separadamente no numerador e no denominador.

Passo 3

Vou usar algumas propriedades básicas de limites (vou explicá-las com calma):
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)\cdot g(x)\big)=L\cdot M.
  • Regra da potência: se \lim_{x\to a} f(x)=L então, para inteiro n\ge 1,
\lim_{x\to a}\big(f(x)\big)^n = L^n.
  • Regra do quociente: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Também uso que polinômios e soma de polinômios são funções contínuas, ou seja, \lim_{x\to a} p(x)=p(a) para polinômio p. Isso permite avaliar limites de expressões lineares diretamente substituindo x=a.

Passo 4

Calculo o limite do termo simples (x+4). Como é um polinômio linear e contínuo,
\lim_{x\to 1}(x+4)=1+4=5.

Passo 5

Aplico a regra da potência ao numerador: como \lim_{x\to1}(x+4)=5, tem-se
\lim_{x\to1}(x+4)^{2}=\big(\lim_{x\to1}(x+4)\big)^{2}=5^{2}=25.

Passo 6

Calculo o limite do denominador (x+2). Por continuidade,
\lim_{x\to1}(x+2)=1+2=3.
Verifico que esse limite é diferente de zero ( 3\neq 0), portanto posso usar a regra do quociente / inverso.

Passo 7

Posso então calcular o limite do inverso (x+2)^{-1} como o inverso do limite:
\lim_{x\to1}(x+2)^{-1}=\frac{1}{\lim_{x\to1}(x+2)}=\frac{1}{3}.
Agora uso a propriedade do produto de limites:
\lim_{x\to1}\left[(x+4)^{2}\cdot(x+2)^{-1}\right] = \left(\lim_{x\to1}(x+4)^{2}\right)\cdot\left(\lim_{x\to1}(x+2)^{-1}\right) =25\cdot\frac{1}{3}=\frac{25}{3}.

Resposta

\dfrac{25}{3}

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