Calcule os limites a seguir usando as propriedades de Limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma função racional cujo numerador é
e o denominador é . - O ponto de interesse é
.
As perguntas implícitas: qual é o valor do limite quando
se aproxima de
e quais operações algébricas usamos para encontrar esse limite.
Passo 2
Primeiro tente a substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo
em numerador e denominador:
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só por substituição; é preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Uma técnica básica para remover indeterminações do tipo
em razões de polinômios é fatorar o numerador (ou denomindador) e cancelar fatores comuns. Vamos fatorar o polinômio
.
Para fatorar, podemos encontrar as raízes da equação
Usamos a fórmula quadrática ou observamos que o discriminante é
As raízes são
Logo as raízes são
e
.
Passo 4
Como as raízes são
e
, o polinômio fatorado é
Podemos verificar multiplicando:
, certo.
Passo 5
Substituindo a fatoração na expressão do limite:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo
Observação importante (didática): quando duas funções coincidem em todo um entorno de
exceto possivelmente no próprio ponto
, elas têm o mesmo limite em
. Aqui a função original coincide com
para todos os
próximos de
com
, então os limites são iguais.
Passo 6
Agora calculamos o limite da função simplificada, que é uma função polinomial contínua:
Lembrete: polinômios são contínuos em todo ponto, portanto o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto.
Passo 7
Pequeno exemplo extra para fixar: se tivéssemos
, fatorando obtemos
para
, e o limite seria
. Mesmo raciocínio que usamos aqui.