Calcule os limites a seguir usando as propriedades de Limites.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-10 x+16}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-10x+16}{x-2}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional cujo numerador é x^{2}-10x+16 e o denominador é x-2.
  • O ponto de interesse é x=2.
As perguntas implícitas: qual é o valor do limite quando x se aproxima de 2 e quais operações algébricas usamos para encontrar esse limite.

Passo 2

Primeiro tente a substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo x=2 em numerador e denominador:
\text{numerador em }x=2: \; 2^{2}-10\cdot2+16 = 4-20+16 = 0,
\text{denominador em }x=2: \; 2-2 = 0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só por substituição; é preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Uma técnica básica para remover indeterminações do tipo 0/0 em razões de polinômios é fatorar o numerador (ou denomindador) e cancelar fatores comuns. Vamos fatorar o polinômio x^{2}-10x+16.
Para fatorar, podemos encontrar as raízes da equação
x^{2}-10x+16=0.
Usamos a fórmula quadrática ou observamos que o discriminante é
\Delta = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot16 = 100-64 = 36.
As raízes são
x = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}.
Logo as raízes são x=8 e x=2.

Passo 4

Como as raízes são 2 e 8, o polinômio fatorado é
x^{2}-10x+16 = (x-2)(x-8).
Podemos verificar multiplicando: (x-2)(x-8)=x^{2}-8x-2x+16=x^{2}-10x+16, certo.

Passo 5

Substituindo a fatoração na expressão do limite:
\frac{x^{2}-10x+16}{x-2} = \frac{(x-2)(x-8)}{x-2}.
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum x-2, obtendo
\frac{(x-2)(x-8)}{x-2} = x-8 \qquad\text{(para }x\neq 2\text{)}.
Observação importante (didática): quando duas funções coincidem em todo um entorno de 2 exceto possivelmente no próprio ponto 2, elas têm o mesmo limite em 2. Aqui a função original coincide com x-8 para todos os x próximos de 2 com x\neq2, então os limites são iguais.

Passo 6

Agora calculamos o limite da função simplificada, que é uma função polinomial contínua:
\lim_{x\to 2} (x-8) = 2-8 = -6.
Lembrete: polinômios são contínuos em todo ponto, portanto o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto.

Passo 7

Pequeno exemplo extra para fixar: se tivéssemos \lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}, fatorando obtemos \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 para x\neq3, e o limite seria 3+3=6. Mesmo raciocínio que usamos aqui.

Resposta

-6

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