Calcule os limites das sequências abaixo e determine se converge ou diverge:
n^25 n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência an=n^25n^2+1 quando ntoinfty e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo é limites de sequências racionais de mesmo grau, e vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pelo maior termo de ordem n^2.

Passo 2

Escrevendo an dividindo numerador e denominador por n^2, temos:
n^25n^2+1=n^2/n^2(5n^2+1)/n^2=15+tfrac1n^2

Passo 3

Agora calculamos o limite quando ntoinfty. Note que tfrac1n^2to 0, logo
limntoinftyan=limntoinfty15+tfrac1n^2=15+0=15

Passo 4

Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

limntoinftyn^25n^2+1=15 Portanto, a sequência converge para tfrac15.

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