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-1.0 | 4 | ||||||
-3 | |||||||
-0.5 | 1 | 10 | |||||
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-21 | ||||||
0.0 | 8 | -11 | 17 | ||||
-4 | -4 |
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0.5 |
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2 | |||||
1.0 |
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-3 | 18 | ||||
-22 |
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1.5 | -37 |
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2.0 | -32 |
(a) Preencha as lacunas da tabela.
(b) Determine o polinômio interpolador (de grau ) na forma de Newton relativo à tabela inteira.
© Determine o polinômio de grau que interpola
nos últimos 4 pontos da tabela.
(d) Sabendo que , qual dos dois polinômios obtidos nas partes (b) e © é o que melhor aproxima
no ponto
?
(b) Determine o polinômio interpolador (de grau
© Determine o polinômio de grau
(d) Sabendo que
Passo 1
O enunciado pede para interpolar uma função tabulada em nós equidistantes de passo
usando diferenças finitas e a fórmula de Newton, preenchendo uma tabela de diferenças até ordem 6 (parte a), depois construindo o polinômio de grau ≤6 relativo à tabela inteira (parte b), em seguida um polinômio de grau ≤3 nos últimos 4 pontos (parte c) e, finalmente, comparando as duas aproximações em
sabendo que
(parte d).
Passo 2
Para preencher a tabela (parte a), note que temos os valores
Passo 3
Calcule as primeiras diferenças
:
Passo 4
Da condição
(dada) segue
. De
achamos
. Então ficam:
Passo 5
Agora as segundas diferenças
:
Passo 6
As terceiras diferenças
:
Passo 7
As quartas diferenças
:
Passo 8
Quintas diferenças
:
Passo 9
e sexta diferença
Com isso completamos a tabela de diferenças.
Com isso completamos a tabela de diferenças.
Passo 10
Para a parte (b), aplicamos a forma de Newton (forward) em
e passo
:
Passo 11
Substituindo
e simplificando potências de
, obtemos
Passo 12
Na parte ©, usamos só os 4 últimos nós
. Temos
. A forma de Newton em
é
Passo 13
que simplifica, com
, para
Passo 14
Na parte (d), avaliamos em
. Para
é mais fácil usar a forma com binomiais:
Passo 15
Para
:
Passo 16
Como
, os erros são
e
. O polinômio de grau 3 (parte c) aproxima melhor
em
.
Resposta
(a) f(0{,}5)=4, f(1{,}0)=-15; diferenças: \Δ¹=(−3,7,−4,−19,−22,5), \Δ²=(10,−11,−15,−3,27), \Δ³=(−21,−4,12,30), \Δ⁴=(17,16,18), \Δ⁵=(−1,2), \Δ⁶=(3). \(b) P_6(x)=4−6(x+1)+20(x+1)(x+0{,}5)−28(x+1)(x+0{,}5)x+\frac{34}{3}(x+1)(x+0{,}5)x(x−0{,}5)−\frac{4}{15}(x+1)(x+0{,}5)x(x−0{,}5)(x−1)+\frac{4}{15}(x+1)(x+0{,}5)x(x−0{,}5)(x−1)(x−1{,}5). \© Q_3(x)=4−38(x−0{,}5)−6(x−0{,}5)(x−1{,}0)+40(x−0{,}5)(x−1{,}0)(x−1{,}5). \(d) Q_3(3)=179, P_6(3)=302, f(3)=−5 ⇒ erro Q_3=184, erro P_6=307. O polinômio de © aproxima melhor em x=3.