xi f(xi) De De De De De De
-1.0 4
-3
-0.5 1 10
ldots -21
0.0 8 -11 17
-4 -4 ldots
0.5 ldots ldots ldots ldots
ldots ldots 2
1.0 ldots -3 18
-22 ldots
1.5 -37 ldots
ldots
2.0 -32
(a) Preencha as lacunas da tabela.
(b) Determine o polinômio interpolador (de grau <= 6) na forma de Newton relativo à tabela inteira.
© Determine o polinômio de grau <= 3 que interpola f nos últimos 4 pontos da tabela.
(d) Sabendo que f(3)=-5, qual dos dois polinômios obtidos nas partes (b) e © é o que melhor aproxima f no ponto x=3 ?

Passo 1

O enunciado pede para interpolar uma função tabulada em nós equidistantes de passo h=0,5 usando diferenças finitas e a fórmula de Newton, preenchendo uma tabela de diferenças até ordem 6 (parte a), depois construindo o polinômio de grau ≤6 relativo à tabela inteira (parte b), em seguida um polinômio de grau ≤3 nos últimos 4 pontos (parte c) e, finalmente, comparando as duas aproximações em x=3 sabendo que f(3)=-5 (parte d).

Passo 2

Para preencher a tabela (parte a), note que temos os valores
f0=f(-1,0)=4, f1=f(-0,5)=1, f2=f(0,0)=8, f5=f(1,5)=-37, f6=f(2,0)=-32

Passo 3

Calcule as primeiras diferenças De:
De

Passo 4

Da condição De (dada) segue f3=4. De De achamos f4=-15. Então ficam:
f3=f(0,5)=4, f4=f(1,0)=-15, De

Passo 5

Agora as segundas diferenças De:
De

Passo 6

As terceiras diferenças De:
De

Passo 7

As quartas diferenças De:
De

Passo 8

Quintas diferenças De:
De

Passo 9

e sexta diferença
Com isso completamos a tabela de diferenças.

Passo 10

Para a parte (b), aplicamos a forma de Newton (forward) em x0=-1 e passo h=0,5:
P6(x)=f0+x+1hDe

Passo 11

Substituindo f0=4,,De e simplificando potências de h=0,5, obtemos
P6(x)=4-6(x+1)+20(x+1)(x+0,5)-28(x+1)(x+0,5)x+343(x+1)(x+0,5)x(x-0,5)-415(x+1)(x+0,5)x(x-0,5)(x-1)+415(x+1)(x+0,5)x(x-0,5)(x-1)(x-1,5)

Passo 12

Na parte ©, usamos só os 4 últimos nós x3=0,5,;x4=1,0,;x5=1,5,;x6=2,0. Temos f3=4,;De. A forma de Newton em x3=0,5 é
Q3(x)=f3+x-0,5hDe

Passo 13

que simplifica, com h=0,5, para
Q3(x)=4-38(x-0,5)-6(x-0,5)(x-1,0)+40(x-0,5)(x-1,0)(x-1,5)

Passo 14

Na parte (d), avaliamos em x=3. Para P6 é mais fácil usar a forma com binomiais:
s=3+10,5=8, P6(3)=4+8(-3)+8choose210+8choose3(-21)+8choose417+8choose5(-1)+8choose63=302

Passo 15

Para Q3(3):
Q3(3)=4-38cdot2,5-6cdot2,5cdot2+40cdot2,5cdot2cdot1,5=179

Passo 16

Como f(3)=-5, os erros são
|P6(3)-(-5)|=307 e |Q3(3)-(-5)|=184. O polinômio de grau 3 (parte c) aproxima melhor f em x=3.

Resposta

(a) f(0{,}5)=4, f(1{,}0)=-15; diferenças: \Δ¹=(−3,7,−4,−19,−22,5), \Δ²=(10,−11,−15,−3,27), \Δ³=(−21,−4,12,30), \Δ⁴=(17,16,18), \Δ⁵=(−1,2), \Δ⁶=(3). \(b) P_6(x)=4−6(x+1)+20(x+1)(x+0{,}5)−28(x+1)(x+0{,}5)x+\frac{34}{3}(x+1)(x+0{,}5)x(x−0{,}5)−\frac{4}{15}(x+1)(x+0{,}5)x(x−0{,}5)(x−1)+\frac{4}{15}(x+1)(x+0{,}5)x(x−0{,}5)(x−1)(x−1{,}5). \© Q_3(x)=4−38(x−0{,}5)−6(x−0{,}5)(x−1{,}0)+40(x−0{,}5)(x−1{,}0)(x−1{,}5). \(d) Q_3(3)=179, P_6(3)=302, f(3)=−5 ⇒ erro Q_3=184, erro P_6=307. O polinômio de © aproxima melhor em x=3.

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