Determine se a série dada é convergente ou divergente.
(f) sumn=1^infty(-1)^n 3^nn^2

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty(-1)^n3^nn^2. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular podemos usar a condição necessária para convergência (o termo geral deve tender a zero) ou o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a condição necessária de convergência. O termo geral é an=(-1)^n3^nn^2. Para que a série converja, precisamos ter limntoinftyan=0.

Passo 3

Observando o valor absoluto do termo geral, temos |an|=3^nn^2. Note que 3^n cresce exponencialmente enquanto n^2 cresce apenas polinomialmente. Logo
limntoinfty|an|=limntoinfty3^nn^2=+infty

Passo 4

Como |an|toinfty, o termo geral an não tende a zero. Portanto, pela condição necessária para convergência de séries, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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