Escreva os quatro primeiros termos da série dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha sua soma.
(d) sumn=1^infty 3 n^2n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever os quatro primeiros termos da série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n{2}}{n{2}+1} $ e descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma dela. O conteúdo aqui é séries infinitas, e vamos precisar usar alguns testes de convergência para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os quatro primeiros termos da série. Isso significa substituir $ n $ por 1, 2, 3 e 4 na expressão $ \frac{3n{2}}{n{2}+1} $.
  • Para $ n = 1 $: $ \frac{3(1)2}{(1)2 + 1} = \frac{3}{2} $
  • Para $ n = 2 $: $ \frac{3(2)2}{(2)2 + 1} = \frac{12}{5} $
  • Para $ n = 3 $: $ \frac{3(3)2}{(3)2 + 1} = \frac{27}{10} $
  • Para $ n = 4 $: $ \frac{3(4)2}{(4)2 + 1} = \frac{48}{17} $
Então, os quatro primeiros termos são $ \frac{3}{2} $, $ \frac{12}{5} $, $ \frac{27}{10} $ e $ \frac{48}{17} $.

Passo 3

Agora, vamos determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito não for zero, a série diverge.
Vamos calcular o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito:
an
Podemos dividir numerador e denominador por $ n^{2} $:
n
Como o limite é 3, que é diferente de zero, pelo Teste da Divergência, a série diverge.

Resposta

Os quatro primeiros termos da série são $ \frac{3}{2} $, $ \frac{12}{5} $, $ \frac{27}{10} $ e $ \frac{48}{17} $. A série diverge, ou seja, não converge para nenhum valor específico.

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