Calcule os limites das sequências abaixo:
Passo 1
Vou primeiro deixar claro o que o problema pede e o que já temos. O enunciado pede o limite
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que são verdade para todo
):
- Para todo
, é um número real entre e ; ou seja,
- O denominador
é uma sequência que cresce exponencialmente quando (vai para ).
Passo 2
Usando a desigualdade
divido todos os termos por
e obtenho uma desigualdade para a sequência dada:
Isto significa que o termo que queremos estudar está “entre”
e
para todo
.
Passo 3
Preciso agora estudar o comportamento do termo superior
quando
. A sequência geométrica
tende a
. Um argumento simples com
explica isso: seja
. Escolha
tal que
Então, para todo
,
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Passo 4
Vou usar o Teorema do Confronto (também chamado Teorema da Espreitação ou Squeeze Theorem). Ele diz: se para todas as
vale
e
, então
.
No nosso caso podemos tomar
Como vimos
e
, o Teorema do Confronto implica que
Passo 5
Para fixar a ideia de forma prática: mesmo que
oscile com
(ele não tem limite quando
é inteiro, mas isso não importa aqui), essa oscilação está sempre dentro do intervalo
. Como dividimos por
, que vai para
, os quocientes ficam cada vez menores. A desigualdade
é a chave: transformar o problema num confronto com uma sequência conhecida que tende a zero.
Um exemplo análogo:
pelo mesmo raciocínio (já que
).