Calcule os limites das sequências abaixo:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos ^{2} n}{2^{n}}

Passo 1

Vou primeiro deixar claro o que o problema pede e o que já temos. O enunciado pede o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{\cos^{2}n}{2^{n}}.
Informações relevantes que o enunciado dá (ou que são verdade para todo n):
  • Para todo n, \cos^{2}n é um número real entre 0 e 1; ou seja,
0\le \cos^{2}n \le 1.
  • O denominador 2^{n} é uma sequência que cresce exponencialmente quando n\to\infty (vai para +\infty).

Passo 2

Usando a desigualdade 0\le \cos^{2}n \le 1 divido todos os termos por 2^{n}>0 e obtenho uma desigualdade para a sequência dada:
0 \le \frac{\cos^{2}n}{2^{n}} \le \frac{1}{2^{n}}.
Isto significa que o termo que queremos estudar está “entre” 0 e \dfrac{1}{2^{n}} para todo n.

Passo 3

Preciso agora estudar o comportamento do termo superior \dfrac{1}{2^{n}} quando n\to\infty. A sequência geométrica \dfrac{1}{2^{n}}=2^{-n} tende a 0. Um argumento simples com \varepsilon explica isso: seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que
2^{N}>\frac{1}{\varepsilon}\quad\text{(isto é, }N>\log_{2}\tfrac{1}{\varepsilon}\text{).}é
Então, para todo n\ge N,
\frac{1}{2^{n}}\le\frac{1}{2^{N}}<\varepsilon.
Logo \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=0.

Passo 4

Vou usar o Teorema do Confronto (também chamado Teorema da Espreitação ou Squeeze Theorem). Ele diz: se para todas as n vale a_{n}\le x_{n}\le b_{n} e \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}b_{n}=L, então \lim_{n\to\infty}x_{n}=L.
No nosso caso podemos tomar
a_{n}=0,\qquad x_{n}=\frac{\cos^{2}n}{2^{n}},\qquad b_{n}=\frac{1}{2^{n}}.
Como vimos \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, o Teorema do Confronto implica que
\lim_{n\to\infty}\frac{\cos^{2}n}{2^{n}}=0.

Passo 5

Para fixar a ideia de forma prática: mesmo que \cos^{2}n oscile com n (ele não tem limite quando n é inteiro, mas isso não importa aqui), essa oscilação está sempre dentro do intervalo [0,1]. Como dividimos por 2^{n}, que vai para +\infty, os quocientes ficam cada vez menores. A desigualdade \dfrac{\cos^{2}n}{2^{n}}\le\dfrac{1}{2^{n}} é a chave: transformar o problema num confronto com uma sequência conhecida que tende a zero.
Um exemplo análogo: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{2^{n}}=0 pelo mesmo raciocínio (já que |\sin n|\le1).

Resposta

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