Calcule os possíveis limites das sequências recursivas abaixo usando a propriedade
.
Passo 1
O enunciado dá uma sequência recursiva com termo inicial e relação de recorrência. Vou listar clarinho o que foi informado e o que se pede.
- Dado:
. - Dado:
para . - Pedido: determinar os possíveis limites da sequência usando a propriedade
.
Essas são todas as informações úteis fornecidas pelo enunciado.
Passo 2
Ideia padrão (a tal propriedade): se a sequência
converge para um limite finito
, então os dois limites devem coincidir:
Substituindo na relação de recorrência, quando
devemos ter
Agora resolvemos essa equação para
. Primeiro isolamos
:
O lado esquerdo é
, então
Multiplicando por
obtemos
Portanto, se a sequência converge, o único candidato a limite é
.
Passo 3
Agora precisamos justificar que a sequência realmente converge (para não ficarmos com um candidato que na prática não é alcançado). Vou mostrar que
é monótona crescente e limitada acima por
, o que garante convergência por um teorema clássico.
-
Base:
e . -
Provar por indução que
para todo . Suponha que . Então
Logo a propriedade se mantém, e por indução
para todo
.
- Mostrar que
é crescente. Calcule a diferença
Como já provamos que
, temos
Logo
, ou seja,
é estritamente crescente.
- Conclusão com o teorema de monotonia: como
é crescente e limitada superiormente por , ela converge. Pelo passo 2, esse limite deve ser .
Passo 4
Para fixar bem a intuição (e para que você saiba outro jeito de ver o comportamento na prova), vou resolver explicitamente a recorrência. A equação é da forma afim
com
e
. A solução geral é a soma da solução estacionária (ponto fixo)
e da solução da parte homogênea. Já encontramos o ponto fixo
. A parte homogênea obedece
, cuja solução é
para alguma constante
.
Então
Use o condicional inicial
para achar
:
portanto
. Assim a fórmula explícita é
Como
quando
, segue que
Essa forma explícita confirma o que mostramos pela monotonia: a sequência tende para
vindo por baixo.