Calcule os possíveis limites das sequências recursivas abaixo usando a propriedade \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n+1}.
a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{1}{3} a_{n}+3

Passo 1

O enunciado dá uma sequência recursiva com termo inicial e relação de recorrência. Vou listar clarinho o que foi informado e o que se pede.
  • Dado: a_{1}=1.
  • Dado: a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_{n}+3 para n\geq1.
  • Pedido: determinar os possíveis limites da sequência usando a propriedade \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}.
Essas são todas as informações úteis fornecidas pelo enunciado.

Passo 2

Ideia padrão (a tal propriedade): se a sequência \{a_n\} converge para um limite finito L, então os dois limites devem coincidir:
\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=L.
Substituindo na relação de recorrência, quando n\to\infty devemos ter
L=\frac{1}{3}L+3.
Agora resolvemos essa equação para L. Primeiro isolamos L:
L-\frac{1}{3}L=3.
O lado esquerdo é \dfrac{2}{3}L, então
\frac{2}{3}L=3.
Multiplicando por \dfrac{3}{2} obtemos
L=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}.
Portanto, se a sequência converge, o único candidato a limite é L=\dfrac{9}{2}.

Passo 3

Agora precisamos justificar que a sequência realmente converge (para não ficarmos com um candidato que na prática não é alcançado). Vou mostrar que \{a_n\} é monótona crescente e limitada acima por \dfrac{9}{2}, o que garante convergência por um teorema clássico.
  1. Base: a_{1}=1 e 1<\dfrac{9}{2}.
  2. Provar por indução que a_{n}<\dfrac{9}{2} para todo n. Suponha que a_{n}<\dfrac{9}{2}. Então
a_{n+1}=\frac{1}{3}a_{n}+3<\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{2}+3=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}.
Logo a propriedade se mantém, e por indução a_{n}<\dfrac{9}{2} para todo n.
  1. Mostrar que \{a_n\} é crescente. Calcule a diferença
a_{n+1}-a_{n}=\left(\frac{1}{3}a_{n}+3\right)-a_{n}=3-\frac{2}{3}a_{n}.
Como já provamos que a_{n}<\dfrac{9}{2}, temos
3-\frac{2}{3}a_{n}>3-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2}=3-3=0.
Logo a_{n+1}-a_n>0, ou seja, \{a_n\} é estritamente crescente.
  1. Conclusão com o teorema de monotonia: como \{a_n\} é crescente e limitada superiormente por \dfrac{9}{2}, ela converge. Pelo passo 2, esse limite deve ser L=\dfrac{9}{2}.

Passo 4

Para fixar bem a intuição (e para que você saiba outro jeito de ver o comportamento na prova), vou resolver explicitamente a recorrência. A equação é da forma afim
a_{n+1}=\alpha a_{n}+\beta
com \alpha=\dfrac{1}{3} e \beta=3. A solução geral é a soma da solução estacionária (ponto fixo) L e da solução da parte homogênea. Já encontramos o ponto fixo L=\dfrac{9}{2}. A parte homogênea obedece h_{n+1}=\dfrac{1}{3}h_n, cuja solução é h_n=C\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1} para alguma constante C.
Então
a_n=L+C\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\frac{9}{2}+C\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}.
Use o condicional inicial a_{1}=1 para achar C:
1=\frac{9}{2}+C\left(\frac{1}{3}\right)^{0}=\frac{9}{2}+C,
portanto C=1-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{7}{2}. Assim a fórmula explícita é
a_n=\frac{9}{2}-\frac{7}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}.
Como \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\to0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{9}{2}.
Essa forma explícita confirma o que mostramos pela monotonia: a sequência tende para \dfrac{9}{2} vindo por baixo.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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