Calcule os limites das sequências abaixo:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{n}+e^{-n}}{e^{2 n}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite da sequência cujo termo geral é
a_n=\frac{e^{n}+e^{-n}}{e^{2n}-1}
quando n \rightarrow \infty. Informações dadas: a expressão explícita de a_n. Objetivo: encontrar \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Observação inicial (importante): para n grande, e^{2n} cresce muito mais rápido que e^{n} ou e^{-n}. Vou tornar isso rigoroso dividindo numerador e denominador por e^{2n}, que é o maior termo exponencial presente.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por e^{2n} obtemos
a_n=\frac{e^{n}+e^{-n}}{e^{2n}-1} =\frac{\dfrac{e^{n}}{e^{2n}}+\dfrac{e^{-n}}{e^{2n}}}{\dfrac{e^{2n}}{e^{2n}}-\dfrac{1}{e^{2n}}} =\frac{e^{-n}+e^{-3n}}{1-e^{-2n}}.

Passo 4

Agora uso o fato fundamenta l sobre exponenciais: para qualquer constante c>0,
e^{-cn}=\bigl(e^{-c}\bigr)^{n},
e como 0<e^{-c}<1, a sequência geométrica \bigl(e^{-c}\bigr)^{n} tende a 0 quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty} e^{-n}=0,\qquad \lim_{n\to\infty} e^{-3n}=0,\qquad \lim_{n\to\infty} e^{-2n}=0.
Substituindo esses limites na expressão obtida no Passo 3:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{e^{-n}+e^{-3n}}{1-e^{-2n}}=\frac{0+0}{1-0}=0.

Passo 5

Comentário final curto e encorajador: a ideia chave é identificar o termo dominantes nas potências exponenciais e dividir por ele (aqui e^{2n}). Isso transforma a expressão em termos que tendem a zero, deixando o limite óbvio. Vai dar certo na prova — é só procurar o maior expoente e reduzir assim.

Resposta

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