Calcule os limites das sequências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite da sequência
quando
. Ou seja, a pergunta é: qual é
Informações dadas que vamos usar diretamente:
- o numerador é uma potência fixa
; - o denominador é um fatorial
, que é o produto .
Passo 2
Primeiro, uma aulinha rápida sobre os objetos que aparecem:
-
é uma sequência exponencial com base fixa . Para crescendo, cresce muito rápido, mas de uma forma regular (multiplica por a cada passo). -
(fatorial) é definido por . Ele cresce ainda mais rápido que qualquer com fixo: a cada passo o fatorial é multiplicado por um número que cresce com .
Intuição (sem provar ainda): o fatorial cresce mais rápido que a potência, entãotende a zero. Vamos tornar isso rigoroso.
Passo 3
Escolha do método: usar o quociente entre termos consecutivos (método do rácio, às vezes chamado de teste de d’Alembert para sequências). É um método simples e elementar: calcular
e ver o comportamento quando
. Se esse quociente tende a um número menor que
(aqui tende a
), isso indica que os termos decaem suficientemente rápido para irem a zero. Esse método é direto e fácil de aplicar sem cálculo avançado.
Passo 4
Calcule o quociente entre termos consecutivos. Para
,
Passo 5
Estude o limite do quociente:
Como esse limite é
(menor que
), a sequência
eventualmente decresce muito rápido. Vamos transformar isso em um argumento rigoroso para concluir que
.
Passo 6
Argumento rigoroso (fechando a ideia):
Do cálculo anterior temos . Escolha, por exemplo,
. Para todo
vale
Do cálculo anterior temos
Isto significa que para
cada termo seguinte é no máximo metade do anterior:
Aplicando isso repetidamente, para todo
temos
Como
quando
, segue que
. Portanto a subsequência a partir de
tende a zero, e assim a sequência inteira
tende a zero:
Passo 7
Generalização útil (curta): o mesmo raciocínio mostra que, para qualquer constante real
, vale
pois
.
Resposta
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