Calcule os limites das sequências abaixo:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite da sequência
a_n=\frac{9^{n}}{n!}
quando n\to\infty. Ou seja, a pergunta é: qual é
\lim_{n\to\infty} a_n \;=\; \lim_{n\to\infty}\frac{9^{n}}{n!}\,?
Informações dadas que vamos usar diretamente:
  • o numerador é uma potência fixa \,9^{n}\,;
  • o denominador é um fatorial \,n!\,, que é o produto 1\cdot2\cdot3\cdots n.

Passo 2

Primeiro, uma aulinha rápida sobre os objetos que aparecem:
  • \,9^{n}\, é uma sequência exponencial com base fixa 9. Para n crescendo, \,9^{n}\, cresce muito rápido, mas de uma forma regular (multiplica por 9 a cada passo).
  • \,n!\, (fatorial) é definido por \,n!=1\cdot2\cdot3\cdots n. Ele cresce ainda mais rápido que qualquer c^{n} com c fixo: a cada passo o fatorial é multiplicado por um número que cresce com n.
    Intuição (sem provar ainda): o fatorial cresce mais rápido que a potência, então \dfrac{9^{n}}{n!} tende a zero. Vamos tornar isso rigoroso.

Passo 3

Escolha do método: usar o quociente entre termos consecutivos (método do rácio, às vezes chamado de teste de d’Alembert para sequências). É um método simples e elementar: calcular
\frac{a_{n+1}}{a_n}
e ver o comportamento quando n\to\infty. Se esse quociente tende a um número menor que 1 (aqui tende a 0), isso indica que os termos decaem suficientemente rápido para irem a zero. Esse método é direto e fácil de aplicar sem cálculo avançado.

Passo 4

Calcule o quociente entre termos consecutivos. Para a_n=\dfrac{9^{n}}{n!},
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{9^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{9^{n}}{n!}} = \frac{9^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{9^{n}} = \frac{9}{n+1}.

Passo 5

Estude o limite do quociente:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{9}{n+1}=0.
Como esse limite é 0 (menor que 1), a sequência a_n eventualmente decresce muito rápido. Vamos transformar isso em um argumento rigoroso para concluir que a_n\to0.

Passo 6

Argumento rigoroso (fechando a ideia):
Do cálculo anterior temos \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{9}{n+1}. Escolha, por exemplo, N=17. Para todo n\ge N vale
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{9}{n+1}\le\frac{9}{18}=\frac{1}{2}.
Isto significa que para n\ge17 cada termo seguinte é no máximo metade do anterior:
a_{n+1}\le\frac{1}{2}a_n\qquad\text{para }n\ge17.
Aplicando isso repetidamente, para todo k\ge0 temos
a_{17+k}\le a_{17}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}.
Como \left(\dfrac{1}{2}\right)^{k}\to0 quando k\to\infty, segue que a_{17+k}\to0. Portanto a subsequência a partir de n=17 tende a zero, e assim a sequência inteira (a_n) tende a zero:
\lim_{n\to\infty}\frac{9^{n}}{n!}=0.

Passo 7

Generalização útil (curta): o mesmo raciocínio mostra que, para qualquer constante real c, vale
\lim_{n\to\infty}\frac{c^{n}}{n!}=0,
pois \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{c}{n+1}\to0.

Resposta

0

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