Calcule os limites e simplifique sua resposta:
lim x 0^+(1+5 x)^1 /(e^x-1).

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto0^+(1+5x)^1/(e^x-1)
Esse é um caso de forma indeterminada 1^infty. Para resolver, vamos usar a técnica de passar ao logaritmo, transformando em uma exponencial e aplicar o teorema de l’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L=limxto0^+ln(1+5x)e^x-1,
de modo que
limxto0^+(1+5x)^1/(e^x-1) =expl(Lr)

Passo 3

Ao substituir x=0 em L obtemos a forma 0/0, então aplicamos l’Hôpital:
L=limxto0^+ddxln(1+5x)ddx(e^x-1) =limxto0^+tfrac51+5xe^x =51cdot1 =5

Passo 4

Substituindo em exp(L), obtemos
exp(5)=e^5

Resposta

e^5

Exercícios relacionados