Encontrar
partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2, partial^2 fpartial x partial y, partial^3 fpartial x^2 partial y e partial^3 fpartial z^3
das seguintes funções:
f(x, y, z)=(1x, 1y^2, x y z).

Passo 1

O enunciado pede para calcular derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função vetor
vec f(x,y,z) = l(x^-1,,y^-2,,x,y,zr).
Vamos usar a regra do poder para derivadas de funções do tipo u^-n, e lembrar que ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.

Passo 2

Calcular partial^2 fpartial x^2.
1. Para o componente f1 = x^-1:
partialx f1 = -x^-2,
partialxx f1 = 2,x^-3. 2. Para f2 = y^-2:; não depende de x, logo partialxx f2 = 0. 3. Para f3 = x,y,z:
partialx f3 = y,z, partialxx f3 = 0.
Portanto
partial^2 fpartial x^2 = l(2,x^-3,,0,,0r)

Passo 3

Calcular partial^2vec f/partial y^2.
1. f1 = x^-1 não depende de y, então partialyyf1=0 2. f2 = y^-2:
partialy f2 = -2,y^-3, partialyy f2 = 6,y^-4 3. f3 = x,y,z:
partialy f3 = x,z, partialyy f3 = 0
Logo
partial^2vec fpartial y^2 = l(0,,6,y^-4,,0r)

Passo 4

Calcular o misto partial^2vec f/partial xpartial y.
Derivar em y o vetor partialxvec f = l(-x^-2,,0,,y,zr):
1. partialxyf1 = 0, 2. partialxyf2 = 0, 3. partialxyf3 = partialy(y,z) = z
Assim
partial^2vec fpartial xpartial y = l(0,,0,,zr)

Passo 5

Calcular partial^3vec f/partial x^2partial y.
É a derivada em y de partial^2vec f/partial x^2 = (2x^-3,0,0). Como esse vetor não depende de y, todas as componentes derivam zero:
partial^3vec fpartial x^2partial y = l(0,,0,,0r)

Passo 6

Calcular partial^3vec f/partial z^3.
1. f1 e f2 não dependem de z, têm derivadas zero.
2. f3 = x,y,z partialzf3 = x,y e, daí, partialzzf3=0, partialzzzf3=0
Logo
partial^3vec fpartial z^3 = l(0,,0,,0r)

Resposta

partial^2vec fpartial x^2 = l(2,x^-3,,0,,0r), partial^2vec fpartial y^2 = l(0,,6,y^-4,,0r),
partial^2vec fpartial xpartial y = l(0,,0,,zr), partial^3vec fpartial x^2partial y = l(0,,0,,0r), partial^3vec fpartial z^3 = l(0,,0,,0r)

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