Exercício 1. Calcule a derivada f^prime(x) :
f(x)=ln (x ln x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=lnl(xln xr)
e pede f'(x). Vamos usar a propriedade de logaritmos para decompor o argumento e depois aplicar derivada de ln(u) juntamente com a regra da cadeia.

Passo 2

Usando ln(ab)=ln a+ln b, reescrevemos
f(x)=ln x + lnl(ln xr)

Passo 3

Derivamos termo a termo. Para o primeiro termo,
ddxln x = 1x
Para o segundo termo, aplicamos a regra da cadeia a ln(ln x):
ddxlnl(ln xr) =1ln x,ddx(ln x) =1ln xcdot1x =1x,ln x

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x)=1x+1x,ln x =ln x + 1x,ln x

Resposta

f'(x)=ln x + 1x,ln x

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