Calcule cada um dos limites
lim x pi / 2(sen x)^sec x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtopi/2(sin x)^sec x.
Note que sin xto1 e sec xtoinfty, ou seja, é uma indeterminação do tipo 1^infty. Vamos usar logaritmos para resolver.

Passo 2

Defina
L=limxtopi/2(sin x)^sec x
Se o limite existir, então
ln L=limxtopi/2sec x;lnl(sin xr) =limxtopi/2ln(sin x)cos x

Passo 3

O limite
limxtopi/2ln(sin x)cos x
é do tipo 0/0, pois ln(sin(pi/2))=0 e cos(pi/2)=0. Podemos, portanto, aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
ddxl[ln(sin x)r] =cos xsin x, ddx[cos x] =-sin x
Logo,
limxtopi/2ln(sin x)cos x =limxtopi/2cos x/sin x-,sin x =limxtopi/2cos x-,sin^2 x

Passo 5

Substituindo x=pi/2 em dfraccos x-,sin^2 x obtemos
cos(pi/2)-sin^2(pi/2) =0-1 =0
Portanto ln L=0 e assim
L=e^0=1

Resposta

1

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