Calcule os limites trigonométricos.
lim substackpi x pi2 cos x-cos pi2x-pi2

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto pi2 cos x - cospi2x - pi2
Este é um limite do tipo definição de derivada para a função f(x)=cos x no ponto x=pi2. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável que transforme esse limite numa forma que conhecemos bem: limhto0sin hh=1.

Passo 2

Façamos a substituição
h = x - pi2,
de modo que quando xtopi2 temos hto0. Então
x = pi2 + h e x - pi2 = h

Passo 3

Reescrevemos o numerador usando a identidade
cosl(pi2+hr) = -sin h
Como cospi2=0, o numerador fica
cos x - cospi2 = cosl(tfracpi2+hr) - 0 = -sin h

Passo 4

Substituindo no limite original, obtemos
limxto pi2 cos x - cospi2x - pi2 = limhto0 -sin hh = -limhto0sin hh
Usando o limite fundamental limhto0sin hh=1, concluímos que
limxto pi2 cos x - cospi2x - pi2 = -1

Resposta

-1

Exercícios relacionados