Calcule os limites trigonométricos:
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(t)-\operatorname{sen}(t)}{t}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{t\to 0}\frac{\tan(t)-\sin(t)}{t},
que envolve limites de funções trigonométricas próximas de zero. Vamos usar identidades trigonométricas e os limites notáveis de pequenas variações.

Passo 2

Escrevemos \tan(t) em termos de seno e cosseno para fatorar a diferença:
\tan(t)-\sin(t) =\frac{\sin(t)}{\cos(t)}-\sin(t) =\sin(t)\Bigl(\frac1{\cos(t)}-1\Bigr) =\sin(t)\,\frac{1-\cos(t)}{\cos(t)}.

Passo 3

Substituindo na expressão original, obtemos
\frac{\tan(t)-\sin(t)}{t} =\frac{\sin(t)}{t}\,\frac{1-\cos(t)}{\cos(t)}.

Passo 4

Agora usamos limites conhecidos:
\lim_{t\to0}\frac{\sin(t)}{t}=1, \quad \lim_{t\to0}\cos(t)=1, \quad \lim_{t\to0}\frac{1-\cos(t)}{t^2}=\frac12.
Para t muito pequeno, \frac{1-\cos(t)}{\cos(t)}\approx\frac{t^2/2}{1}, que tende a zero.

Passo 5

Multiplicando as partes, o produto tende a
1\times 0 = 0.

Resposta

0

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