Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{\sin 2 x}{x}\right)=

Passo 1

O problema pede o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{\sin 2x}{x}\right).
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vamos usar:
  • A função em questão é f(x)=\dfrac{\sin 2x}{x}.
  • O operador \sin é limitado: para todo real t vale -1\le \sin t\le 1.
  • Queremos o comportamento quando x tende para -\infty (valores de x com módulo grande e sinal negativo).

Passo 2

Lema útil (explicado de forma simples): se uma função g(x) satisfaz 0\le |g(x)|\le h(x) e \lim_{x\to a}h(x)=0, então \lim_{x\to a}g(x)=0. Isto é uma forma do Teorema do Confronto (ou Squeeze). Vamos construir uma desigualdade desse tipo para g(x)=\dfrac{\sin 2x}{x}.

Passo 3

Usar que -1\le \sin 2x\le 1 para todo x. Tomando valores absolutos obtemos
0\le |\sin 2x|\le 1.
Então
\left|\frac{\sin 2x}{x}\right|=\frac{|\sin 2x|}{|x|}\le\frac{1}{|x|}.
Observação didática: usei |x| porque quando x é negativo dividir por x inverte desigualdades; trabalhar com valor absoluto evita essa complicação e é a maneira direta de aplicar o Teorema do Confronto.

Passo 4

Agora analisamos o limite do lado direito. Quando x\to -\infty temos |x|\to +\infty, logo
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{|x|}=0.
Pelo Teorema do Confronto, como 0\le \left|\dfrac{\sin 2x}{x}\right|\le \dfrac{1}{|x|} e o superior tende a 0, segue que
\lim_{x\to -\infty}\left|\frac{\sin 2x}{x}\right|=0.
Isto implica diretamente que
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sin 2x}{x}=0.

Resposta

0

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