Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão é a razão entre
e
quando
se aproxima de
. A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Vamos analisar primeiro a aproximação quando
se aproxima de
pela direita (
). Há uma desigualdade trigonométrica clássica válida para
:
Breve justificativa intuitiva (geométrica): em um círculo trigonométrico de raio
, o comprimento do arco correspondente ao ângulo
é
, o comprimento do segmento de corda é
(que leva a
ao comparar), e a distância do ponto do círculo à tangente é relacionada a
. Isso leva à ordem “corda
arco
segmento tangente”, que se traduz na desigualdade acima. (Não é necessário decorar o porquê, mas essa é a origem geométrica.)
Passo 3
A partir de
dividimos todos os termos por
(válido para
) e obtemos
Passo 4
Aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze): se
e
, então
.
Aqui, para
temos as duas funções limite das bordas:
pois
é contínua em
e
. Pelo Squeeze, segue
Passo 5
Agora tratamos a aproximação pela esquerda (
). Observamos que a função
é par, ou seja,
Como a função é par, o limite pela esquerda vale o mesmo que o limite pela direita:
Portanto o limite bilateral existe e é
.
Passo 6
(Verificação alternativa, para aprendizado) Usando L’Hôpital — quando se tem uma indeterminação do tipo
— podemos derivar numerador e denominador:
Isso confirma o resultado anterior. Outra verificação é a expansão em série:
, então
, que tende a
quando
.