Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x}{\sin x}\right)=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{x}{\sin x}\right).
Informações dadas: a expressão é a razão entre x e \sin x quando x se aproxima de 0. A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos analisar primeiro a aproximação quando x se aproxima de 0 pela direita ( x\to 0^+). Há uma desigualdade trigonométrica clássica válida para 0<x<\tfrac{\pi}{2}:
\sin x < x < \tan x.
Breve justificativa intuitiva (geométrica): em um círculo trigonométrico de raio 1, o comprimento do arco correspondente ao ângulo x é x, o comprimento do segmento de corda é 2\sin(\tfrac{x}{2}) (que leva a \sin x ao comparar), e a distância do ponto do círculo à tangente é relacionada a \tan x. Isso leva à ordem “corda < arco < segmento tangente”, que se traduz na desigualdade acima. (Não é necessário decorar o porquê, mas essa é a origem geométrica.)

Passo 3

A partir de
\sin x < x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x},
dividimos todos os termos por \sin x>0 (válido para 0<x<\tfrac{\pi}{2}) e obtemos
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.

Passo 4

Aplicamos o Teorema do Confronto (Squeeze): se g(x)\le f(x)\le h(x) e \lim g(x)=\lim h(x)=L, então \lim f(x)=L.
Aqui, para x\to 0^+ temos as duas funções limite das bordas:
\lim_{x\to 0^+} 1 = 1, \qquad \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1,
pois \cos x é contínua em 0 e \cos 0 = 1. Pelo Squeeze, segue
\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{\sin x} = 1.

Passo 5

Agora tratamos a aproximação pela esquerda ( x\to 0^-). Observamos que a função f(x)=\dfrac{x}{\sin x} é par, ou seja,
f(-x)=\frac{-x}{\sin(-x)}=\frac{-x}{-\,\sin x}=\frac{x}{\sin x}=f(x).
Como a função é par, o limite pela esquerda vale o mesmo que o limite pela direita:
\lim_{x\to 0^-}\frac{x}{\sin x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}{\sin x}=1.
Portanto o limite bilateral existe e é 1.

Passo 6

(Verificação alternativa, para aprendizado) Usando L’Hôpital — quando se tem uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} — podemos derivar numerador e denominador:
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x} =\frac{1}{\cos 0}=1.
Isso confirma o resultado anterior. Outra verificação é a expansão em série: \sin x = x - \tfrac{x^3}{6}+\cdots, então \dfrac{x}{\sin x}=1+\tfrac{x^2}{6}+\cdots, que tende a 1 quando x\to 0.

Resposta

1

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