Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O que se pede é o comportamento de
quando cresce sem limite positivo ( ).
Passo 2
Relembrando o que significa existir o limite quando
. Dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, para todo
, vale
. Uma ferramenta prática para mostrar que um limite não existe é produzir duas sequências
e
com
e
tais que os limites de
e
sejam diferentes; se isso ocorrer, não pode haver um único
que satisfaz a definição.
Passo 3
Propriedades básicas da função seno que vamos usar:
- Para todo
, . Portanto Isso mostra que a função é limitada, mas limite finito não segue apenas de ser limitada. - A função
é periódica com período : . Isso permite construir sequências em que toma valores específicos repetidamente à medida que .
Passo 4
Construa uma sequência que faça
tender a
. Defina, para
,
Como
e usando periodicidade, temos
para todo
. Logo
e portanto
Passo 5
Construa outra sequência que faça
tender a
. Defina, para
,
Como
, segue
para todo
. Assim
e portanto
Passo 6
Concluímos pela argumentação de subsequências: se existisse um limite
tal que
então todas as sequências
teriam que satisfazer
. Mas encontramos a sequência
com limite
e a sequência
com limite
, que são valores distintos. Isso é uma contradição com a existência de um único
. Portanto o limite não existe.
Resposta
Não existe.