Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\sin x}{2}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{\sin x}{2}\right).
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{\sin x}{2}.
  • O que se pede é o comportamento de f(x) quando x cresce sem limite positivo ( x\to+\infty).

Passo 2

Relembrando o que significa existir o limite quando x\to+\infty. Dizemos que
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe M tal que, para todo x>M, vale |f(x)-L|<\varepsilon. Uma ferramenta prática para mostrar que um limite não existe é produzir duas sequências \{x_n\} e \{y_n\} com x_n\to+\infty e y_n\to+\infty tais que os limites de f(x_n) e f(y_n) sejam diferentes; se isso ocorrer, não pode haver um único L que satisfaz a definição.

Passo 3

Propriedades básicas da função seno que vamos usar:
  • Para todo x\in\mathbb{R}, -1\le \sin x\le 1. Portanto -\tfrac{1}{2}\le \frac{\sin x}{2}\le \tfrac{1}{2}.Isso mostra que a função é limitada, mas limite finito não segue apenas de ser limitada.
  • A função \sin x é periódica com período 2\pi: \sin(x+2\pi)=\sin x. Isso permite construir sequências em que \sin x toma valores específicos repetidamente à medida que x\to+\infty.

Passo 4

Construa uma sequência que faça \dfrac{\sin x}{2} tender a \tfrac{1}{2}. Defina, para n\in\mathbb{N},
x_n=\frac{\pi}{2}+2\pi n.
Como \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 e usando periodicidade, temos \sin x_n=1 para todo n. Logo
\frac{\sin x_n}{2}=\frac{1}{2}\quad\text{para todo }n,
e portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin x_n}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Construa outra sequência que faça \dfrac{\sin x}{2} tender a -\tfrac{1}{2}. Defina, para n\in\mathbb{N},
y_n=\frac{3\pi}{2}+2\pi n.
Como \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, segue \sin y_n=-1 para todo n. Assim
\frac{\sin y_n}{2}=-\frac{1}{2}\quad\text{para todo }n,
e portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin y_n}{2}=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Concluímos pela argumentação de subsequências: se existisse um limite L tal que
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{2}=L,
então todas as sequências x\to+\infty teriam que satisfazer \lim \dfrac{\sin x}{2}=L. Mas encontramos a sequência \{x_n\} com limite \tfrac{1}{2} e a sequência \{y_n\} com limite -\tfrac{1}{2}, que são valores distintos. Isso é uma contradição com a existência de um único L. Portanto o limite não existe.

Resposta

Não existe.

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