Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi^{+}}{2}}\left(\frac{\operatorname{arccos} x}{x}\right)=

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x \to \frac{\pi^{+}}{2}}\left(\frac{\operatorname{arccos} x}{x}\right).
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é x\mapsto \dfrac{\operatorname{arccos} x}{x}.
  • O ponto de aproximação é x=\dfrac{\pi}{2} e o símbolo {}^{+} indica que é o limite pela direita (valores de x maiores que \dfrac{\pi}{2}).

Passo 2

Precisamos lembrar qual é o domínio real da função \operatorname{arccos}. Por definição, para valores reais:
\operatorname{arccos}: [-1,1] \to [0,\pi].
Isto significa que, para x real, \operatorname{arccos} x só está definido (com valor real) quando x\in[-1,1]. Para x>1 ou x<-1 a expressão \operatorname{arccos} x não tem valor real.

Passo 3

Compare numericamente \dfrac{\pi}{2} com 1. Sabendo que \pi\approx3{,}1416, temos
\frac{\pi}{2}\approx1{,}5708 > 1.
Logo qualquer x tal que x>\dfrac{\pi}{2} satisfaz x>1, isto é, está fora do domínio real de \operatorname{arccos}.

Passo 4

Para que exista o limite pela direita \lim_{x\to (\pi/2)^{+}} \dfrac{\operatorname{arccos} x}{x} é necessário que a função esteja definida em pontos reais arbitrariamente próximos de \dfrac{\pi}{2} pela direita (ou seja, existam x em \big(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}+\delta\big) com \operatorname{arccos} x real para todo \delta>0). Mas, pelo passo anterior, não existe nenhum ponto real maior que \dfrac{\pi}{2} em que \operatorname{arccos} x seja real. Assim não há sequer uma sequência de pontos do domínio que se aproxime de \dfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Pelo fato de a função não estar definida em qualquer vizinhança real à direita de \dfrac{\pi}{2}, não faz sentido falar em limite real pela direita nesse ponto. Portanto o limite (no conjunto dos números reais) não existe.

Resposta

Não existe (a função \operatorname{arccos} x não está definida em qualquer vizinhança real de \dfrac{\pi}{2}).

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