Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan 3 x}{4 x}\right)^{-2}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 0 da expressão \left(\dfrac{\tan 3x}{4x}\right)^{-2}.
Informações dadas:
  • A função considerada é \left(\dfrac{\tan 3x}{4x}\right)^{-2}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?

Passo 2

Vamos usar um resultado fundamental sobre funções trigonométricas pequenas: \displaystyle\lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Vou demonstrar rapidinho essa identidade clássica usando desigualdades (teorema do aperto/squeeze).
Para u em (0,\tfrac{\pi}{2}) vale geometricamente que
\sin u < u < \tan u.
Dividindo a desigualdade por u>0 e usando \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u} obtemos
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Agora, como \lim_{u\to 0}\cos u=1, pelo teorema do aperto segue que
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
(Para u negativos a mesma conclusão vale por simetria, então o limite bilateral é 1.)

Passo 3

A partir de \displaystyle\lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1 podemos obter o limite de \tan u. Observe que
\frac{\tan u}{u}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}.
Quando u\to 0 temos \dfrac{\sin u}{u}\to 1 e \cos u\to 1, logo
\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1.

Passo 4

Agora aplico isso ao nosso problema fazendo u=3x. Escrevo a parte interna do limite como
\frac{\tan 3x}{4x}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\tan 3x}{3x}.
Tomando limite quando x\to 0 (isto é, u=3x\to 0) e usando \displaystyle\lim_{u\to 0}\dfrac{\tan u}{u}=1, tem-se
\lim_{x\to 0}\frac{\tan 3x}{4x}=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4}.

Passo 5

A expressão do enunciado é a potência -2 da quantidade cuja limite acabamos de calcular. Como o limite interior é \dfrac{3}{4}\neq 0, podemos elevar esse limite à potência -2. Assim
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\tan 3x}{4x}\right)^{-2}=\left(\lim_{x\to 0}\frac{\tan 3x}{4x}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}.
Calculo a potência:
\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}.

Resposta

\dfrac{16}{9}

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