Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da expressão
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
.
A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?
Passo 2
Vamos usar um resultado fundamental sobre funções trigonométricas pequenas:
. Vou demonstrar rapidinho essa identidade clássica usando desigualdades (teorema do aperto/squeeze).
Para
em
vale geometricamente que
Dividindo a desigualdade por
e usando
obtemos
Agora, como
, pelo teorema do aperto segue que
(Para
negativos a mesma conclusão vale por simetria, então o limite bilateral é 1.)
Passo 3
A partir de
podemos obter o limite de
. Observe que
Quando
temos
e
, logo
Passo 4
Agora aplico isso ao nosso problema fazendo
. Escrevo a parte interna do limite como
Tomando limite quando
(isto é,
) e usando
, tem-se
Passo 5
A expressão do enunciado é a potência
da quantidade cuja limite acabamos de calcular. Como o limite interior é
, podemos elevar esse limite à potência
. Assim
Calculo a potência: