Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x}{x}\right]=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{x}\right].
Informações dadas:
  • A expressão é a soma de três funções seno avaliadas em x, 3x e 5x, tudo dividido por x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • A pergunta é única: encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Lema fundamental que vamos usar (explicação didática): vale a conhecida propriedade
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Por que isso é verdade (prova por desigualdade/squeeze, bem visual e elementar):
  • Para 0<u<\tfrac{\pi}{2} considera-se o setor circular e triângulos que levam às desigualdades
\sin u < u < \tan u.
  • Dividindo por u (positivo) obtém-se
\frac{\sin u}{u} < 1 < \frac{\tan u}{u} = \frac{1}{\cos u}.
  • Reescrevendo a segunda desigualdade como \cos u < \dfrac{\sin u}{u} (fazendo manipulação apropriada) obtemos
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
  • Como \lim_{u\to 0}\cos u = 1, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Observação para ambos os lados: a razão tende a 1 igualmente quando u\to 0^- porque \sin é função ímpar; portanto o limite bilateral existe e vale 1.

Passo 3

Transformação algébrica e preparação para aplicar o lema. Podemos separar a fração em soma de frações:
\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{x} = \frac{\sin x}{x}+\frac{\sin 3x}{x}+\frac{\sin 5x}{x}.
Agora escrevemos cada termo de forma que possamos aplicar o lema \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Observe que
\frac{\sin 3x}{x}=3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}, \qquad \frac{\sin 5x}{x}=5\cdot\frac{\sin 5x}{5x}.
Portanto a expressão fica
\frac{\sin x}{x}+3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}+5\cdot\frac{\sin 5x}{5x}.

Passo 4

Aplicação das propriedades de limite (linearidade e substituição): se os limites individuais existem, o limite da soma é a soma dos limites, e para cada k\in\{1,3,5\} vale
\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{kx}=1
pela substituição u=kx no lema do Passo 2 (quando x\to 0 também u\to 0). Assim
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}=3\cdot 1=3, \qquad \lim_{x\to 0}5\cdot\frac{\sin 5x}{5x}=5\cdot 1=5.
Somando:
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{x}\right]=1+3+5=9.

Passo 5

(Verificação alternativa — expansão em série, para intuição extra)
Usando a expansão em série de Taylor para seno em torno de 0:
\sin t = t - \frac{t^3}{6} + o(t^3)\quad (t\to 0).
Aplicando com t=x,3x,5x e somando:
\sin x+\sin 3x+\sin 5x=(x+3x+5x)-\frac{x^3+27x^3+125x^3}{6}+o(x^3).
O primeiro termo é 9x, então dividindo por x obtém-se 9 menos termos que vão para 0 quando x\to 0. Logo o limite é 9, confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Conclusão final: o limite pedido existe e vale 9. Força aí nos estudos — esse tipo de limite costuma aparecer bastante e o truque de escrever \dfrac{\sin kx}{x}=k\cdot\dfrac{\sin kx}{kx} é bem prático.

Resposta

9

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