Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a soma de três funções seno avaliadas em
, e , tudo dividido por . - O ponto de interesse é
. - A pergunta é única: encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Lema fundamental que vamos usar (explicação didática): vale a conhecida propriedade
Por que isso é verdade (prova por desigualdade/squeeze, bem visual e elementar):
- Para
considera-se o setor circular e triângulos que levam às desigualdades
- Dividindo por
(positivo) obtém-se
- Reescrevendo a segunda desigualdade como
(fazendo manipulação apropriada) obtemos
- Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
Observação para ambos os lados: a razão tende a
igualmente quando
porque
é função ímpar; portanto o limite bilateral existe e vale
.
Passo 3
Transformação algébrica e preparação para aplicar o lema. Podemos separar a fração em soma de frações:
Agora escrevemos cada termo de forma que possamos aplicar o lema
. Observe que
Portanto a expressão fica
Passo 4
Aplicação das propriedades de limite (linearidade e substituição): se os limites individuais existem, o limite da soma é a soma dos limites, e para cada
vale
pela substituição
no lema do Passo 2 (quando
também
). Assim
Somando:
Passo 5
(Verificação alternativa — expansão em série, para intuição extra)
Usando a expansão em série de Taylor para seno em torno de :
Usando a expansão em série de Taylor para seno em torno de
Aplicando com
e somando:
O primeiro termo é
, então dividindo por
obtém-se
menos termos que vão para
quando
. Logo o limite é
, confirmando o resultado anterior.
Passo 6
Conclusão final: o limite pedido existe e vale
. Força aí nos estudos — esse tipo de limite costuma aparecer bastante e o truque de escrever
é bem prático.
Resposta
9