Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{\tan \left(2 x-x^{2}\right)}{x^{2}-3 x+2}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2}\left(\frac{\tan\bigl(2x-x^{2}\bigr)}{x^{2}-3x+2}\right).
Informações dadas que vamos usar:
  • O numerador é \tan\bigl(2x-x^{2}\bigr).
  • O denominador é x^{2}-3x+2.
  • O ponto de interesse é x\to 2.
    As perguntas implícitas são: o limite existe? e, se existe, qual é o seu valor?

Passo 2

Verifiquemos a substituição direta para ver se o limite é imediato. Ao substituir x=2:
  • O argumento da tangente fica 2x-x^{2}=2\cdot 2-2^{2}=4-4=0, então o numerador tende a \tan(0)=0.
  • O denominador fica 2^{2}-3\cdot 2+2=4-6+2=0.
    Logo temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso indica que precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Fatoramos o denominador e reescrevemos o argumento da tangente de modo a ver uma cancelamento comum:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Defina u=2x-x^{2}. Observando u podemos fatorar:
u=2x-x^{2}=x(2-x)=-(x)(x-2).
Portanto, para x\neq 2,
\frac{\tan\bigl(2x-x^{2}\bigr)}{x^{2}-3x+2}=\frac{\tan(u)}{(x-1)(x-2)} =\frac{\tan(u)}{u}\cdot\frac{u}{(x-1)(x-2)}.

Passo 4

Calculemos a segunda fração \dfrac{u}{(x-1)(x-2)} usando a expressão de u:
\frac{u}{(x-1)(x-2)}=\frac{-(x)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=-\frac{x}{x-1},
válido para x\neq 2. Assim para x\neq 2 temos
\frac{\tan\bigl(2x-x^{2}\bigr)}{x^{2}-3x+2}=\frac{\tan(u)}{u}\cdot\left(-\frac{x}{x-1}\right).

Passo 5

Agora vamos usar um limite fundamental de trigonometria: \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1.
Explicação didática e simples desse fato:
  • Escreva \displaystyle\frac{\tan u}{u}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}.
  • É conhecido (e pode ser demonstrado geometricamente ou por séries) que \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
  • E \displaystyle\lim_{u\to 0}\cos u=1.
  • Pela regra do produto/quotiente de limites, \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1\cdot\frac{1}{1}=1.
    Portanto, quando x\to 2 temos u=2x-x^{2}\to 0 e então \dfrac{\tan(u)}{u}\to 1.

Passo 6

Juntando tudo e tomando limite quando x\to 2:
\lim_{x\to 2}\frac{\tan\bigl(2x-x^{2}\bigr)}{x^{2}-3x+2} =\lim_{x\to 2}\frac{\tan(u)}{u}\cdot\left(-\frac{x}{x-1}\right).
Pelo passo anterior \displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{\tan(u)}{u}=1. E a outra parte é contínua em x=2 (exceto no ponto original da indeterminação que já tratamos), então
\lim_{x\to 2}\left(-\frac{x}{x-1}\right)=-\frac{2}{2-1}=-2.
Multiplicando os limites:
1\cdot(-2)=-2.

Resposta

-2

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