Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas que vamos usar:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O ponto de interesse é
.
As perguntas implícitas são: o limite existe? e, se existe, qual é o seu valor?
Passo 2
Verifiquemos a substituição direta para ver se o limite é imediato. Ao substituir
:
- O argumento da tangente fica
, então o numerador tende a . - O denominador fica
.
Logo temos a forma indeterminada. Isso indica que precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Fatoramos o denominador e reescrevemos o argumento da tangente de modo a ver uma cancelamento comum:
Defina
. Observando
podemos fatorar:
Portanto, para
,
Passo 4
Calculemos a segunda fração
usando a expressão de
:
válido para
. Assim para
temos
Passo 5
Agora vamos usar um limite fundamental de trigonometria:
.
Explicação didática e simples desse fato:
Explicação didática e simples desse fato:
- Escreva
. - É conhecido (e pode ser demonstrado geometricamente ou por séries) que
. - E
. - Pela regra do produto/quotiente de limites,
.
Portanto, quandotemos e então .
Passo 6
Juntando tudo e tomando limite quando
:
Pelo passo anterior
. E a outra parte é contínua em
(exceto no ponto original da indeterminação que já tratamos), então
Multiplicando os limites: