A expressão envolve x^{2} e o logaritmo natural \ln de uma razão.
Para que o \ln esteja definido no conjunto dos números reais, o argumento da função logaritmo precisa ser positivo.
Devemos analisar o comportamento do argumento
\frac{x^{2}-9}{x^{2}-1}
quando x se aproxima de -2, e decidir se o limite existe no conjunto dos reais. Se houver interesse em estender para logaritmo complexo, podemos também calcular esse limite complexo — mas primeiro verificamos o caso real.
Passo 2
Avaliar o argumento no ponto x=-2 (substituição direta para verificar sinal):
Conclusão sobre definição real: como o argumento do \ln fica próximo de -5/3 quando x aproxima de -2, ou seja, é negativo em uma vizinhança de -2 (exceto pontos onde o denominador fosse zero, o que não ocorre aqui), o logaritmo natural \ln não está definido como número real nessa vizinhança. Logo, a expressão
não é uma função real definida em qualquer intervalo aberto contendo x=-2. Portanto não há como falar de limite real — o limite não existe no conjunto dos números reais.
Passo 4
Explicação didática curta (por que não existe limite real): para um limite real existir, a expressão deve estar definida em pontos suficientemente próximos do ponto de limite (exceto possivelmente no próprio ponto) e tender a um valor real. Aqui, para x suficientemente próximo de -2 (por exemplo x=-2\pm 0{,}1), temos x^{2} próximo de 4 e então x^{2}-9<0 e x^{2}-1>0, de modo que a razão é negativa, e \ln de número negativo não é um número real. Por isso não existe limite real.
Passo 5
Comentário opcional: limite na extensão complexa. Se aceitarmos o logaritmo complexo e usarmos a determinação principal do logaritmo (argumento principal igual a \pi para números reais negativos), então para x\to-2 a razão tende a -5/3 e
(no ramo principal). Multiplicando por x^{2}\to 4, obtemos o limite complexo
4\ln\!\left(\frac{5}{3}\right)+4\mathrm{i}\pi.
Observação: essa é uma extensão ao conjunto dos números complexos e depende da escolha do ramo do logaritmo (o ramo principal dá o termo +\mathrm{i}\pi).
Resposta
Não existe limite real.
Se for considerada a extensão ao logaritmo complexo principal, o limite vale 4\ln\!\left(\dfrac{5}{3}\right)+4\mathrm{i}\pi.