Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 16}\left(\frac{\ln \sqrt{x}-\ln 4}{x-16}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to16}\left(\frac{\ln \sqrt{x}-\ln 4}{x-16}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve logaritmo natural e raiz quadrada: \ln \sqrt{x} e \ln 4.
  • Ao substituir x=16 temos \ln\sqrt{16}=\ln 4, logo o numerador tende a 0 e o denominador também tende a 0. Portanto trata-se de uma forma indeterminada do tipo 0/0.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função na forma algébrica para tornar o limite mais claro. Usamos a propriedade do logaritmo \ln(x^{a})=a\ln x. Assim
\ln \sqrt{x}=\ln(x^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln x.
Substituindo na expressão do limite obtemos
\frac{\ln \sqrt{x}-\ln 4}{x-16}=\frac{\tfrac{1}{2}\ln x-\ln 4}{x-16}.

Passo 3

Agora massageamos o numerador para evidenciar uma diferença de logaritmos com ponto base 16. Observamos que \ln 4=\ln\sqrt{16}=\tfrac{1}{2}\ln 16. Então
\tfrac{1}{2}\ln x-\ln 4=\tfrac{1}{2}\ln x-\tfrac{1}{2}\ln 16=\tfrac{1}{2}\bigl(\ln x-\ln 16\bigr).
Portanto a expressão do limite fica
\frac{\ln \sqrt{x}-\ln 4}{x-16}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\ln x-\ln 16}{x-16}.

Passo 4

Aqui entra um conceito útil: a definição de derivada. Para uma função f e um ponto a,
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
quando esse limite existe. Reconhecemos a parte \dfrac{\ln x-\ln 16}{x-16} como a definição de derivada de f(x)=\ln x no ponto a=16. Logo
\lim_{x\to16}\frac{\ln x-\ln 16}{x-16}= (\ln x)' \big|_{x=16}.

Passo 5

Agora precisamos do valor da derivada de \ln x. Uma maneira simples de ver isso é usar a relação inversa com a exponencial: se y=\ln x então x=e^{y}. Diferenciando implicitamente em relação a x obtemos
\frac{d}{dx}e^{y}= \frac{d}{dx}x \quad\Rightarrow\quad e^{y}\frac{dy}{dx}=1.
Como e^{y}=x, segue
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}.
Portanto (\ln x)'=\dfrac{1}{x}. Em particular,
\lim_{x\to16}\frac{\ln x-\ln 16}{x-16}=\frac{1}{16}.

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 3, temos
\lim_{x\to16}\left(\frac{\ln \sqrt{x}-\ln 4}{x-16}\right) =\tfrac{1}{2}\cdot\lim_{x\to16}\frac{\ln x-\ln 16}{x-16} =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{16}.
Fazendo a multiplicação obtemos o valor do limite.

Resposta

\dfrac{1}{32}

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