Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{2} \cdot \ln \left(\frac{x^{2}+4}{x^{2}}\right)\right)=

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to-\infty}\left(x^{2}\cdot \ln\!\left(\frac{x^{2}+4}{x^{2}}\right)\right).
  • Informações dadas/observações úteis:
    • A expressão envolve x^{2} e \ln de uma razão que contém x^{2}.
    • Quando x\to-\infty, temos |x|\to+\infty e portanto x^{2}\to+\infty.
    • A função dentro do \ln é \dfrac{x^{2}+4}{x^{2}} = 1+\dfrac{4}{x^{2}}. Essa forma sugere usar um limite conhecido para \ln(1+u) quando u\to0.

Passo 2

Simplificar a expressão usando álgebra elementar do logaritmo.
Usando que
\frac{x^{2}+4}{x^{2}} = 1+\frac{4}{x^{2}},
temos
x^{2}\cdot \ln\!\left(\frac{x^{2}+4}{x^{2}}\right) = x^{2}\cdot \ln\!\left(1+\frac{4}{x^{2}}\right).
Isso já deixa explícito que o argumento do \ln tende a 1 quando x\to-\infty, porque \dfrac{4}{x^{2}}\to 0.

Passo 3

Fazer uma substituição que torne o limite óbvio.
Defina
y=\frac{4}{x^{2}}.
Quando x\to-\infty temos x^{2}\to+\infty, logo y=\dfrac{4}{x^{2}}\to 0^{+}.
Reescrevendo a expressão em função de y:
x^{2}\cdot \ln\!\left(1+\frac{4}{x^{2}}\right) = x^{2}\cdot \ln(1+y).
Como y=\dfrac{4}{x^{2}}, também vale x^{2}=\dfrac{4}{y}. Substituindo:
x^{2}\cdot \ln(1+y)=\frac{4}{y}\cdot \ln(1+y)=4\cdot\frac{\ln(1+y)}{y}.
Portanto o limite original se transforma em
\lim_{x\to-\infty} x^{2}\ln\!\left(1+\frac{4}{x^{2}}\right) = \lim_{y\to 0^{+}} 4\cdot\frac{\ln(1+y)}{y}.

Passo 4

Usar um limite padrão para avaliar \dfrac{\ln(1+y)}{y} quando y\to0.
Fato padrão (e importante):
\lim_{y\to 0}\frac{\ln(1+y)}{y}=1.
Explicação curta e intuitiva:
  • Pela expansão em série (fórmula de Taylor) para \ln(1+y) em torno de y=0: \ln(1+y)=y-\dfrac{y^{2}}{2}+\cdots. Dividindo por y e tomando y\to0 fica \dfrac{\ln(1+y)}{y}=1-\dfrac{y}{2}+\cdots\to1.
  • Alternativamente, pode-se aplicar a regra de L’Hôpital: ao considerar \lim_{y\to0}\dfrac{\ln(1+y)}{y} obtém-se \dfrac{1/(1+y)}{1}\to 1 quando y\to0.
Qualquer uma das justificativas é válida; o resultado é que o quociente tende a 1.

Passo 5

Calcular o limite final usando o resultado padrão.
Como \lim_{y\to0}\dfrac{\ln(1+y)}{y}=1, então
\lim_{y\to 0^{+}} 4\cdot\frac{\ln(1+y)}{y} = 4\cdot 1 = 4.
Portanto
\lim_{x\to-\infty}\left(x^{2}\cdot \ln\!\left(\frac{x^{2}+4}{x^{2}}\right)\right)=4.

Resposta

4

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