Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos.
- O enunciado pede o valor do limite
- Informações dadas/observações úteis:
- A expressão envolve
e de uma razão que contém . - Quando
, temos e portanto . - A função dentro do
é . Essa forma sugere usar um limite conhecido para quando .
- A expressão envolve
Passo 2
Simplificar a expressão usando álgebra elementar do logaritmo.
Usando que
temos
Isso já deixa explícito que o argumento do
tende a
quando
, porque
.
Passo 3
Fazer uma substituição que torne o limite óbvio.
Defina
Quando
temos
, logo
.
Reescrevendo a expressão em função de
:
Como
, também vale
. Substituindo:
Portanto o limite original se transforma em
Passo 4
Usar um limite padrão para avaliar
quando
.
Fato padrão (e importante):
Explicação curta e intuitiva:
- Pela expansão em série (fórmula de Taylor) para
em torno de : . Dividindo por e tomando fica . - Alternativamente, pode-se aplicar a regra de L’Hôpital: ao considerar
obtém-se quando .
Qualquer uma das justificativas é válida; o resultado é que o quociente tende a
.
Passo 5
Calcular o limite final usando o resultado padrão.
Como
, então
Portanto