Calcule os limites trigonométricos a seguir: lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{\ln x-\ln 3}{x-3}\right)=
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \to 3}\left(\frac{\ln x - \ln 3}{x - 3}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A expressão no numerador é \ln x - \ln 3.
O ponto de interesse é x \to 3.
Observação imediata (sem resolver): quando x=3 tanto o numerador quanto o denominador valem zero.
Passo 2
Verificando a forma da expressão ao aproximar x de 3:
\ln 3 - \ln 3 = 0\qquad\text{e}\qquad 3-3=0,
então temos uma forma indeterminada do tipo \dfrac{0}{0}. Para limites nessa forma, métodos comuns são: reconhecer a expressão como a definição de derivada, aplicar a regra de L’Hôpital, ou manipular algebraicamente usando propriedades do logaritmo. Vou mostrar a solução principal usando a definição de derivada (método direto e conceitual) e depois apresento duas alternativas rápidas (L’Hôpital e manipulação com \ln).
Passo 3
Lembrete da definição de derivada (aula rápida): se f é uma função, a derivada de f no ponto a é definida por
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
quando esse limite existe. Note que a expressão do enunciado tem exatamente a forma \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} com f(x)=\ln x e a=3. Portanto
\lim_{x \to 3}\left(\frac{\ln x - \ln 3}{x - 3}\right)=\left(\ln x\right)'\Big|_{x=3}.
Ou seja, o limite é igual à derivada de \ln x avaliada em x=3.
Passo 4
Agora precisamos saber a derivada de \ln x. Vou demonstrar de forma direta usando diferenciação de função inversa (aula curta e intuitiva):
Se y=\ln x, então por definição de função inversa temos x=e^y. Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x) obtemos
Concluindo pelo argumento da derivada: o limite pedido é
\lim_{x \to 3}\left(\frac{\ln x - \ln 3}{x - 3}\right)=\frac{1}{3}.
Passo 6
Alternativa 1 (regra de L’Hôpital), caso prefira esse método na prova: como a expressão é da forma \dfrac{0}{0}, aplica-se L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
Alternativa 2 (manipulação com logaritmo): usar a propriedade \ln x-\ln 3=\ln\!\left(\dfrac{x}{3}\right) e a substituição u=\dfrac{x}{3}. Então x=3u e quando x\to 3 temos u\to 1. A expressão fica