Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{\ln x-\ln 3}{x-3}\right)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x \to 3}\left(\frac{\ln x - \ln 3}{x - 3}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão no numerador é \ln x - \ln 3.
  • O ponto de interesse é x \to 3.
  • Observação imediata (sem resolver): quando x=3 tanto o numerador quanto o denominador valem zero.

Passo 2

Verificando a forma da expressão ao aproximar x de 3:
\ln 3 - \ln 3 = 0\qquad\text{e}\qquad 3-3=0,
então temos uma forma indeterminada do tipo \dfrac{0}{0}. Para limites nessa forma, métodos comuns são: reconhecer a expressão como a definição de derivada, aplicar a regra de L’Hôpital, ou manipular algebraicamente usando propriedades do logaritmo. Vou mostrar a solução principal usando a definição de derivada (método direto e conceitual) e depois apresento duas alternativas rápidas (L’Hôpital e manipulação com \ln).

Passo 3

Lembrete da definição de derivada (aula rápida): se f é uma função, a derivada de f no ponto a é definida por
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
quando esse limite existe. Note que a expressão do enunciado tem exatamente a forma \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} com f(x)=\ln x e a=3. Portanto
\lim_{x \to 3}\left(\frac{\ln x - \ln 3}{x - 3}\right)=\left(\ln x\right)'\Big|_{x=3}.
Ou seja, o limite é igual à derivada de \ln x avaliada em x=3.

Passo 4

Agora precisamos saber a derivada de \ln x. Vou demonstrar de forma direta usando diferenciação de função inversa (aula curta e intuitiva):
Se y=\ln x, então por definição de função inversa temos x=e^y. Diferenciando ambos os lados em relação a x (tratando y como função de x) obtemos
\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}(e^{y}) \quad\Rightarrow\quad 1 = e^{y}\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^{y}}.
Mas como e^{y}=x (pela relação inversa), temos
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
Isso vale para todo x>0. Aqui x=3>0, logo
\left(\ln x\right)'\Big|_{x=3}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Concluindo pelo argumento da derivada: o limite pedido é
\lim_{x \to 3}\left(\frac{\ln x - \ln 3}{x - 3}\right)=\frac{1}{3}.

Passo 6

Alternativa 1 (regra de L’Hôpital), caso prefira esse método na prova: como a expressão é da forma \dfrac{0}{0}, aplica-se L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
\lim_{x\to 3}\frac{\ln x-\ln 3}{x-3} =\lim_{x\to 3}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x - \ln 3)}{\frac{d}{dx}(x-3)} =\lim_{x\to 3}\frac{1/x}{1} =\frac{1}{3}.
Ambos os métodos levam ao mesmo resultado.

Passo 7

Alternativa 2 (manipulação com logaritmo): usar a propriedade \ln x-\ln 3=\ln\!\left(\dfrac{x}{3}\right) e a substituição u=\dfrac{x}{3}. Então x=3u e quando x\to 3 temos u\to 1. A expressão fica
\frac{\ln(x)-\ln 3}{x-3}=\frac{\ln(u)}{3u-3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\ln u}{u-1}.
Sabe-se (ou pode-se mostrar) que \lim_{u\to 1}\dfrac{\ln u}{u-1}=1, então o limite é \dfrac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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