Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é uma razão entre uma soma de funções seno e uma soma de funções tangente, todas avaliadas em múltiplos de
. - O ponto em que o limite é pedido é
.
O que se deve encontrar: o valor numérico desse limite.
Passo 2
Lembrando dois fatos fundamentais sobre funções trigonométricas próximas de zero (vou explicar por que eles valem logo abaixo):
Explicação didática e rápida do porquê desses limites:
- Para
: existe uma demonstração geométrica clássica usando o círculo trigonométrico e comparação de áreas (triângulo inscrito, setor e triângulo circunscrito) que leva à desigualdade
Como
quando
, pela desigualdade temos
.
- Para
: usar que . Então
Como
e
quando
, o produto tende a
.
Também é útil notar a consequência para múltiplos de : para qualquer inteiro
,
Também é útil notar a consequência para múltiplos de
Isto porque basta fazer a troca de variável
(quando
, também
).
Passo 3
Vamos manipular algebricamente a expressão para deixar aparecer essas formas
e
.
Escrevo cada termo multiplicando e dividindo por
de forma conveniente:
Substituindo na expressão e fatorando
obtemos
Agora podemos cancelar o fator comum
(válido para
, e para o limite isso é ok) e escrever
Passo 4
Agora tomamos o limite
membro a membro. Usamos o fato explicado antes: para cada
tem-se
e para
tem-se
. Assim,
os numeradores e denominadores das frações parciais tendem a constantes:
os numeradores e denominadores das frações parciais tendem a constantes:
Numerador:
Denominador:
Portanto o limite da razão é