Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin x+\sin 3 x+\sin 5 x}{\tan 2 x+\tan 4 x+\tan 6 x}\right]=

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\rightarrow 0}\left[\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\tan 2x+\tan 4x+\tan 6x}\right].
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é uma razão entre uma soma de funções seno e uma soma de funções tangente, todas avaliadas em múltiplos de x.
  • O ponto em que o limite é pedido é x\to 0.
    O que se deve encontrar: o valor numérico desse limite.

Passo 2

Lembrando dois fatos fundamentais sobre funções trigonométricas próximas de zero (vou explicar por que eles valem logo abaixo):
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1, \qquad \lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1.
Explicação didática e rápida do porquê desses limites:
  • Para \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1: existe uma demonstração geométrica clássica usando o círculo trigonométrico e comparação de áreas (triângulo inscrito, setor e triângulo circunscrito) que leva à desigualdade
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1\quad\text{para }0<t<\frac{\pi}{2}.
Como \cos t\to 1 quando t\to 0, pela desigualdade temos \dfrac{\sin t}{t}\to 1.
  • Para \lim_{t\to 0}\dfrac{\tan t}{t}=1: usar que \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}. Então
\frac{\tan t}{t}=\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t}.
Como \dfrac{\sin t}{t}\to 1 e \cos t\to 1 quando t\to 0, o produto tende a 1.
Também é útil notar a consequência para múltiplos de x: para qualquer inteiro k,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(kx)}{kx}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan(kx)}{kx}=1.
Isto porque basta fazer a troca de variável t=kx (quando x\to 0, também t\to 0).

Passo 3

Vamos manipular algebricamente a expressão para deixar aparecer essas formas \dfrac{\sin(kx)}{kx} e \dfrac{\tan(kx)}{kx}.
Escrevo cada termo multiplicando e dividindo por x de forma conveniente:
\sin x = x\cdot\frac{\sin x}{x},\qquad \sin 3x = 3x\cdot\frac{\sin 3x}{3x},\qquad \sin 5x = 5x\cdot\frac{\sin 5x}{5x},
\tan 2x = 2x\cdot\frac{\tan 2x}{2x},\qquad \tan 4x = 4x\cdot\frac{\tan 4x}{4x},\qquad \tan 6x = 6x\cdot\frac{\tan 6x}{6x}.
Substituindo na expressão e fatorando x obtemos
\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\tan 2x+\tan 4x+\tan 6x} = \frac{x\left(\dfrac{\sin x}{x}+3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}+5\cdot\dfrac{\sin 5x}{5x}\right)} {x\left(2\cdot\dfrac{\tan 2x}{2x}+4\cdot\dfrac{\tan 4x}{4x}+6\cdot\dfrac{\tan 6x}{6x}\right)}.
Agora podemos cancelar o fator comum x (válido para x\neq 0, e para o limite isso é ok) e escrever
\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\tan 2x+\tan 4x+\tan 6x} = \frac{\dfrac{\sin x}{x}+3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}+5\cdot\dfrac{\sin 5x}{5x}} {2\cdot\dfrac{\tan 2x}{2x}+4\cdot\dfrac{\tan 4x}{4x}+6\cdot\dfrac{\tan 6x}{6x}}.

Passo 4

Agora tomamos o limite x\to 0 membro a membro. Usamos o fato explicado antes: para cada k\in\{1,3,5\} tem-se \dfrac{\sin(kx)}{kx}\to 1 e para k\in\{2,4,6\} tem-se \dfrac{\tan(kx)}{kx}\to 1. Assim,
os numeradores e denominadores das frações parciais tendem a constantes:
Numerador:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}+3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}+5\cdot\frac{\sin 5x}{5x}\right) =1+3+5=9.
Denominador:
\lim_{x\to 0}\left(2\cdot\frac{\tan 2x}{2x}+4\cdot\frac{\tan 4x}{4x}+6\cdot\frac{\tan 6x}{6x}\right) =2+4+6=12.
Portanto o limite da razão é
\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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