Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 4^{-}}[(4-x) \cdot \ln (4-x)]=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 4^-}\bigl[(4-x)\cdot\ln(4-x)\bigr].
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é o produto de (4-x) por \ln(4-x).
  • Ao tomarmos x\to 4^- (aproximação pela esquerda), temos x<4 e portanto (4-x)>0.
  • Assim, quando x\to 4^-, o fator (4-x) tende para 0^+ (tende a zero por valores positivos).
  • O outro fator \ln(4-x), ao avaliarmos em argumentos que tendem a 0^+, tende para -\infty.
    Portanto a expressão tem a forma “pequeno positivo × grande negativo”, ou seja um limite do tipo 0^+\cdot(-\infty), que é uma indeterminação. Vamos transformar e calcular o limite de forma rigorosa.

Passo 2

Fazer uma mudança de variável simples para simplificar a análise. Defina
t = 4-x.
Quando x\to 4^- temos t\to 0^+. Substituindo na expressão do limite obtemos
\lim_{x\to 4^-}(4-x)\ln(4-x) \;=\; \lim_{t\to 0^+} t\ln t.
Portanto o problema reduz-se a calcular \lim_{t\to 0^+} t\ln t.

Passo 3

Intuição antes de proceder: \ln t diverge para -\infty quando t\to 0^+, enquanto t tende a 0. Em muitos casos o fator que tende a zero “vence” a divergência logarítmica, levando o produto a zero. Para mostrar isso de modo rigoroso, transformamos o produto numa forma de quociente que permite aplicar uma regra conhecida.
Escrevemos
t\ln t \;=\; \frac{\ln t}{1/t}.
Ao fazermos t\to 0^+ temos \ln t\to -\infty e 1/t\to +\infty, logo a expressão \dfrac{\ln t}{1/t} está numa forma indeterminada do tipo -\infty/\infty. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para avaliar esse limite.

Passo 4

Regra de L’Hôpital (lembrando de forma sucinta): se \displaystyle\lim_{t\to a} f(t)=\pm\infty e \displaystyle\lim_{t\to a} g(t)=\pm\infty (ou ambos 0), e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(t)\neq 0, então
\lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)},
quando o limite do lado direito existir ou for \pm\infty.
Aplicando com f(t)=\ln t e g(t)=1/t:
  • f'(t)=1/t.
  • g'(t)=-1/t^2.
Portanto
\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln t}{1/t} =\lim_{t\to 0^+}\frac{1/t}{-1/t^2} =\lim_{t\to 0^+}(-t).
Esse último limite é imediato:
\lim_{t\to 0^+}(-t)=0.
Portanto \displaystyle\lim_{t\to 0^+} t\ln t = 0.

Passo 5

Voltando à variável original, concluímos que
\lim_{x\to 4^-}(4-x)\ln(4-x)=0.

Resposta

0

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