Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é o produto de
por . - Ao tomarmos
(aproximação pela esquerda), temos e portanto . - Assim, quando
, o fator tende para (tende a zero por valores positivos). - O outro fator
, ao avaliarmos em argumentos que tendem a , tende para .
Portanto a expressão tem a forma “pequeno positivo × grande negativo”, ou seja um limite do tipo, que é uma indeterminação. Vamos transformar e calcular o limite de forma rigorosa.
Passo 2
Fazer uma mudança de variável simples para simplificar a análise. Defina
Quando
temos
. Substituindo na expressão do limite obtemos
Portanto o problema reduz-se a calcular
.
Passo 3
Intuição antes de proceder:
diverge para
quando
, enquanto
tende a
. Em muitos casos o fator que tende a zero “vence” a divergência logarítmica, levando o produto a zero. Para mostrar isso de modo rigoroso, transformamos o produto numa forma de quociente que permite aplicar uma regra conhecida.
Escrevemos
Ao fazermos
temos
e
, logo a expressão
está numa forma indeterminada do tipo
. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para avaliar esse limite.
Passo 4
Regra de L’Hôpital (lembrando de forma sucinta): se
e
(ou ambos
), e
são diferenciáveis perto de
com
, então
quando o limite do lado direito existir ou for
.
Aplicando com
e
:
-
. -
.
Portanto
Esse último limite é imediato:
Portanto
.
Passo 5
Voltando à variável original, concluímos que
Resposta
0