A expressão é um produto entre uma parte que cresce linearmente em x, 4x+10, e um logaritmo cujo argumento tende a 1 quando x\to+\infty, pois
\frac{2x+3}{2x+5}\to 1.
A forma é do tipo \infty\cdot 0 indeterminada, então precisamos manipular a expressão para usar um limite conhecido.
Passo 2
Ideia geral e ferramenta que vou usar: a propriedade fundamental do logaritmo quando o argumento tende a 1:
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Explicação curta dessa propriedade (intuição): a função \ln(1+u) tem derivada 1 em u=0, então para u pequeno \ln(1+u)\approx u. Em provas pode-se justificar usando desenvolvimento em série ou regra de l’Hôpital. Vou transformar o logaritmo em uma forma \ln(1+u) e separar um fator u para aplicar essa propriedade.
Passo 3
Faço a substituição natural para escrever o logaritmo como \ln(1+u). Defino
u=\frac{2x+3}{2x+5}-1.
Calculo u:
u=\frac{2x+3-(2x+5)}{2x+5}=\frac{-2}{2x+5}.
Observações:
Quando x\to+\infty, temos u\to 0 porque o denominador 2x+5\to+\infty.
Portanto posso escrever
\ln\!\left(\frac{2x+3}{2x+5}\right)=\ln(1+u).
Passo 4
Reescrevo o limite usando u. A expressão original vira