Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow+\infty}\left((4 x+10) \cdot \ln \left(\frac{2 x+3}{2 x+5}\right)\right)=

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\left((4x+10)\cdot\ln\!\left(\frac{2x+3}{2x+5}\right)\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável tende para +\infty.
  • A expressão é um produto entre uma parte que cresce linearmente em x, 4x+10, e um logaritmo cujo argumento tende a 1 quando x\to+\infty, pois
\frac{2x+3}{2x+5}\to 1.
  • A forma é do tipo \infty\cdot 0 indeterminada, então precisamos manipular a expressão para usar um limite conhecido.

Passo 2

Ideia geral e ferramenta que vou usar: a propriedade fundamental do logaritmo quando o argumento tende a 1:
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Explicação curta dessa propriedade (intuição): a função \ln(1+u) tem derivada 1 em u=0, então para u pequeno \ln(1+u)\approx u. Em provas pode-se justificar usando desenvolvimento em série ou regra de l’Hôpital. Vou transformar o logaritmo em uma forma \ln(1+u) e separar um fator u para aplicar essa propriedade.

Passo 3

Faço a substituição natural para escrever o logaritmo como \ln(1+u). Defino
u=\frac{2x+3}{2x+5}-1.
Calculo u:
u=\frac{2x+3-(2x+5)}{2x+5}=\frac{-2}{2x+5}.
Observações:
  • Quando x\to+\infty, temos u\to 0 porque o denominador 2x+5\to+\infty.
  • Portanto posso escrever
\ln\!\left(\frac{2x+3}{2x+5}\right)=\ln(1+u).

Passo 4

Reescrevo o limite usando u. A expressão original vira
(4x+10)\ln(1+u)=(4x+10)\,u\cdot\frac{\ln(1+u)}{u}.
Como x\to+\infty corresponde a u\to 0, posso tentar tomar o limite do produto dos dois fatores. Pelo Passo 2 já sei que
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Logo basta calcular o limite de (4x+10)\,u quando x\to+\infty.

Passo 5

Calculo o limite de (4x+10)\,u substituindo u=\dfrac{-2}{2x+5}:
(4x+10)\,u=(4x+10)\cdot\left(\frac{-2}{2x+5}\right)=\frac{-(8x+20)}{2x+5}.
Agora tomo o limite quando x\to+\infty. Divido numerador e denominador por x:
\frac{-(8x+20)}{2x+5}=\frac{-(8+20/x)}{2+5/x}\xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{-8}{2}=-4.

Passo 6

Combino os limites: como
(4x+10)\ln(1+u)=(4x+10)\,u\cdot\frac{\ln(1+u)}{u},
e os limites de cada fator são \lim (4x+10)\,u=-4 e \lim \dfrac{\ln(1+u)}{u}=1, o limite do produto é o produto dos limites:
\lim_{x\to+\infty}(4x+10)\ln\!\left(\frac{2x+3}{2x+5}\right) = (-4)\cdot 1 = -4.

Resposta

-4

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