Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
-
, logo a base tende a quando . -
tem assíntota vertical em , portanto quando e quando . - Assim a expressão está na forma indeterminada do tipo
(base , expoente ).
O que se pede é, portanto, decidir se esse limite existe e, se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Estratégia de trabalho (sem resolver ainda): para limites de tipo
é habitual tomar o logaritmo natural da função, calcular o limite do logaritmo e depois exponenciar. Assim, se
e o limite de
existir e for
, então o limite de
será
. Vou aplicar essa ideia passo a passo.
Passo 3
Faço a mudança
. Então
equivale a
. Reescrevo a função em termos de
:
Portanto a expressão fica
e o limite
torna-se
.
Passo 4
Agora trabalho com o logaritmo natural. Defino
O objetivo é calcular
. Para isso uso uma forma clássica: escrevo o produto de modo a envolver o quociente
, cujo limite é conhecido. Escrevo
Aqui separei em dois fatores:
e
.
Passo 5
Avalio os limites dos dois fatores quando
:
- Para o primeiro fator,
- Para o segundo fator, uso a conhecida limite básica
. Aqui tomo , que tende a quando . Assim
Multiplicando as duas conclusões obtemos
Passo 6
Voltando à função original: como
, segue que
Ou seja,
Observação sobre as laterais: a manipulação acima não usou se
vem de
ou de
; o limite do logaritmo é
tanto por
quanto por
, portanto o limite bilateral existe e é
.