Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\cos x+1)^{\tan x}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)^{\tan x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, logo a base \cos x+1 tende a 1 quando x\to\frac{\pi}{2}.
  • \tan x tem assíntota vertical em x=\frac{\pi}{2}, portanto \tan x\to+\infty quando x\to\frac{\pi}{2}^- e \tan x\to-\infty quando x\to\frac{\pi}{2}^+.
  • Assim a expressão está na forma indeterminada do tipo (1)^{\infty} (base \to1, expoente \to\pm\infty).
    O que se pede é, portanto, decidir se esse limite existe e, se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Estratégia de trabalho (sem resolver ainda): para limites de tipo (1)^{\infty} é habitual tomar o logaritmo natural da função, calcular o limite do logaritmo e depois exponenciar. Assim, se f(x)=(\cos x+1)^{\tan x} e o limite de \ln f(x) existir e for L, então o limite de f(x) será e^{L}. Vou aplicar essa ideia passo a passo.

Passo 3

Faço a mudança h = x - \frac{\pi}{2}. Então x\to\frac{\pi}{2} equivale a h\to 0. Reescrevo a função em termos de h:
\cos x + 1 = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}+h\right)+1 = -\sin h + 1 = 1 - \sin h,
\tan x = \tan\!\left(\frac{\pi}{2}+h\right) = -\cot h.
Portanto a expressão fica
(\cos x+1)^{\tan x} = (1-\sin h)^{-\cot h},
e o limite x\to\frac{\pi}{2} torna-se h\to 0.

Passo 4

Agora trabalho com o logaritmo natural. Defino
g(h) = \ln\!\bigl((1-\sin h)^{-\cot h}\bigr) = -\cot h \cdot \ln(1-\sin h).
O objetivo é calcular \lim_{h\to 0} g(h). Para isso uso uma forma clássica: escrevo o produto de modo a envolver o quociente \dfrac{\ln(1-\sin h)}{-\sin h}, cujo limite é conhecido. Escrevo
g(h) = -\cot h \cdot \ln(1-\sin h) = \bigl(\cot h \cdot \sin h\bigr)\cdot \frac{\ln(1-\sin h)}{-\sin h}.
Aqui separei em dois fatores: \cot h\cdot\sin h e \dfrac{\ln(1-\sin h)}{-\sin h}.

Passo 5

Avalio os limites dos dois fatores quando h\to 0:
  1. Para o primeiro fator,
\cot h\cdot\sin h = \frac{\cos h}{\sin h}\cdot\sin h = \cos h \longrightarrow \cos 0 = 1.
  1. Para o segundo fator, uso a conhecida limite básica \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Aqui tomo u=-\sin h, que tende a 0 quando h\to 0. Assim
\frac{\ln(1-\sin h)}{-\sin h} \longrightarrow 1.
Multiplicando as duas conclusões obtemos
\lim_{h\to 0} g(h) = 1\cdot 1 = 1.

Passo 6

Voltando à função original: como \lim_{h\to 0} \ln\bigl((1-\sin h)^{-\cot h}\bigr) = 1, segue que
\lim_{h\to 0} (1-\sin h)^{-\cot h} = e^{1} = e.
Ou seja,
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)^{\tan x} = e.
Observação sobre as laterais: a manipulação acima não usou se h vem de + ou de -; o limite do logaritmo é 1 tanto por h\to0^- quanto por h\to0^+, portanto o limite bilateral existe e é e.

Resposta

e

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