Calcule os limites usando L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}+x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}+x}.
Informações relevantes:
  • A função no numerador é 1-\cos(x).
  • A função no denominador é x^{2}+x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    O objetivo é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Verificar a forma indefinida ao substituir x=0.
Calcular o numerador em 0: \;1-\cos(0)=1-1=0.
Calcular o denominador em 0: \;0^{2}+0=0.
Logo, a expressão assume a forma \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso indica que podemos tentar usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Explicar a Regra de L’Hôpital (de modo simples e aplicável aqui).
A Regra de L’Hôpital diz, em essência:
se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto talvez em a), então, quando o limite existe,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=1-\cos(x) e g(x)=x^{2}+x. Ambas são diferenciáveis em torno de 0, portanto podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Calcular as derivadas usadas na Regra de L’Hôpital.
  • Derivada do numerador: a derivada de 1 é 0; a derivada de \cos(x) é -\sin(x). Assim
\frac{d}{dx}\big(1-\cos(x)\big)=0-(-\sin(x))=\sin(x).
  • Derivada do denominador: a derivada de x^{2} é 2x e a de x é 1. Logo
\frac{d}{dx}\big(x^{2}+x\big)=2x+1.

Passo 5

Aplicar L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}+x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2x+1}.
Agora avaliar esse limite diretamente: em x=0 temos \sin(0)=0 e 2\cdot 0+1=1, então
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{2x+1}=\frac{0}{1}=0.

Passo 6

Verificação alternativa (intuição extra, sem usar L’Hôpital): usar série de Taylor ao redor de 0:
1-\cos(x)=\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}),\qquad x^{2}+x=x\big(1+x\big).
Então
\frac{1-\cos(x)}{x^{2}+x}\approx\frac{\tfrac{x^{2}}{2}}{x(1+x)}=\frac{x}{2(1+x)}\to 0\quad\text{quando }x\to 0,
confirmando o resultado anterior. Bom trabalho — apesar do desespero, o resultado é simples: o limite vale zero.

Resposta

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