Calcule os limites usando L’Hôpital
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado: calcular o limite
Informações relevantes:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto de interesse é
.
O objetivo é encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Verificar a forma indefinida ao substituir
.
Calcular o numerador em :
.
Calcular o denominador em :
.
Logo, a expressão assume a forma , que é uma forma indeterminada. Isso indica que podemos tentar usar a Regra de L’Hôpital.
Calcular o numerador em
Calcular o denominador em
Logo, a expressão assume a forma
Passo 3
Explicar a Regra de L’Hôpital (de modo simples e aplicável aqui).
A Regra de L’Hôpital diz, em essência:
se e
(ou ambos
), e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto talvez em
), então, quando o limite existe,
A Regra de L’Hôpital diz, em essência:
se
Aqui
e
. Ambas são diferenciáveis em torno de
, portanto podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Calcular as derivadas usadas na Regra de L’Hôpital.
- Derivada do numerador: a derivada de
é ; a derivada de é . Assim
- Derivada do denominador: a derivada de
é e a de é . Logo
Passo 5
Aplicar L’Hôpital substituindo pelo quociente das derivadas:
Agora avaliar esse limite diretamente: em
temos
e
, então
Passo 6
Verificação alternativa (intuição extra, sem usar L’Hôpital): usar série de Taylor ao redor de
:
Então
confirmando o resultado anterior. Bom trabalho — apesar do desespero, o resultado é simples: o limite vale zero.