Calcule os limites usando L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{4 x}-1-4 x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x}-1-4x}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão entre uma função no numerador e^{4x}-1-4x e o denominador x^{2}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Não há outras condições explícitas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o valor por substituição direta para saber o tipo de indeterminação. Avaliando numerador e denominador em x=0:
e^{4\cdot 0}-1-4\cdot 0 = e^{0}-1-0 = 1-1 = 0,
0^{2}=0.
Portanto a forma é 0/0, uma indeterminação. Isso permite tentar aplicar a Regra de L’Hôpital (quando apropriado).
Explicando a Regra de L’Hôpital de forma didática:
  • Se temos \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} e a forma é 0/0 ou \infty/\infty,
  • e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq 0 perto de a,
  • então, se \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f'(x) e g'(x) significam as derivadas de f e g em relação a x. A ideia prática: transformar a indeterminação derivando numerador e denominador.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital uma vez. Precisamos das derivadas de numerador e denominador.
Derivada do numerador f(x)=e^{4x}-1-4x:
  • Regra da cadeia: se h(x)=e^{u(x)} então h'(x)=u'(x)e^{u(x)}.
  • Aqui u(x)=4x tem u'(x)=4. Logo
\frac{d}{dx}e^{4x}=4e^{4x}.
  • Derivada de -1 é 0.
  • Derivada de -4x é -4.
Portanto
f'(x)=4e^{4x}-4.
Derivada do denominador g(x)=x^{2}:
g'(x)=2x.
Pela Regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{4x}-1-4x}{x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{4e^{4x}-4}{2x}.

Passo 4

Verificamos a nova forma por substituição em x=0:
4e^{4\cdot 0}-4 = 4\cdot 1 -4 =0,\qquad 2\cdot 0 = 0,
ou seja, continuamos com 0/0. Podemos aplicar L’Hôpital novamente.
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez, derivamos numerador e denominador de novo.
Derivada do numerador 4e^{4x}-4:
  • Derivada de 4e^{4x} é 4\cdot (4e^{4x}) = 16e^{4x} (novamente regra da cadeia).
  • Derivada de -4 é 0.
Logo a segunda derivada do numerador é 16e^{4x}.
Derivada do denominador 2x é 2.
Assim, pela Regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{4e^{4x}-4}{2x} = \lim_{x\to 0}\frac{16e^{4x}}{2}.

Passo 5

Simplificando a expressão do limite:
\frac{16e^{4x}}{2}=8e^{4x}.
Agora avaliamos em x=0:
8e^{4\cdot 0}=8e^{0}=8\cdot 1=8.
Portanto o limite existe e vale 8.

Resposta

8

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