Calcule os limites usando L’Hôpital
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações dadas:
- A expressão é uma razão entre uma função no numerador
e o denominador . - O ponto de interesse é
. - Não há outras condições explícitas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o valor por substituição direta para saber o tipo de indeterminação. Avaliando numerador e denominador em
:
Portanto a forma é
, uma indeterminação. Isso permite tentar aplicar a Regra de L’Hôpital (quando apropriado).
Explicando a Regra de L’Hôpital de forma didática:
- Se temos
e a forma é ou , - e
e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ) e perto de , - então, se
existe (ou é ), vale
Aqui
e
significam as derivadas de
e
em relação a
. A ideia prática: transformar a indeterminação derivando numerador e denominador.
Passo 3
Aplicamos L’Hôpital uma vez. Precisamos das derivadas de numerador e denominador.
Derivada do numerador
:
- Regra da cadeia: se
então . - Aqui
tem . Logo
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Derivada do denominador
:
Pela Regra de L’Hôpital:
Passo 4
Verificamos a nova forma por substituição em
:
ou seja, continuamos com
. Podemos aplicar L’Hôpital novamente.
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez, derivamos numerador e denominador de novo.
Derivada do numerador
:
- Derivada de
é (novamente regra da cadeia). - Derivada de
é .
Logo a segunda derivada do numerador é
.
Derivada do denominador
é
.
Assim, pela Regra de L’Hôpital:
Passo 5
Simplificando a expressão do limite:
Agora avaliamos em
:
Portanto o limite existe e vale
.
Resposta
8