Calcule os limites usando L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} e^{-1 / x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0} x^{2} e^{-1/x}.
Informações dadas:
  • A expressão é x^{2}e^{-1/x}; não está definida em x=0, então o que importa são os limites laterais quando x\to0^+ e x\to0^-.
  • Preciso calcular os limites laterais e então concluir sobre o limite geral quando existir.
Observação útil (para organizar a solução): é comum aqui escrever o produto como quociente para poder aplicar regras de limite e, quando for o caso, o teorema de L’Hôpital:
x^{2}e^{-1/x}=\frac{x^{2}}{e^{1/x}}.

Passo 2

Entendendo o comportamento para x\to 0^{+} (aproximação pela direita).
Quando x\to 0^{+} temos:
  • x^{2}\to 0.
  • 1/x\to +\infty, logo e^{1/x}\to +\infty.
Assim, na forma \dfrac{x^{2}}{e^{1/x}} o numerador tende a 0 e o denominador tende a +\infty. Essa é a forma 0/(+\infty), que não é indeterminada: um número pequeno dividido por um número que cresce sem limite tende a 0. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} x^{2} e^{-1/x}=0.
Comentário didático rápido sobre por que não se usa L’Hôpital aqui: o teorema de L’Hôpital exige 0/0 ou \infty/\infty. Aqui temos 0/\infty, cuja conclusão é imediata (o quociente tende a 0), então não é necessário (nem aplicável) L’Hôpital.

Passo 3

Análise para x\to 0^{-} (aproximação pela esquerda). Agora x é negativo e pequeno em módulo.
Para x\to 0^{-}:
  • x^{2}\to 0^{+}.
  • 1/x\to -\infty, então e^{1/x}\to 0^{+}.
Na forma \dfrac{x^{2}}{e^{1/x}} isso dá 0/0, uma forma indeterminada, então podemos aplicar L’Hôpital. Lembre que o teorema de L’Hôpital diz: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos infinidades) e \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=x^{2} e g(x)=e^{1/x}. Calculamos as derivadas passo a passo:
  • f'(x)=2x.
  • Para g(x)=e^{1/x} usamos a regra da cadeia: g'(x)=e^{1/x}\cdot \frac{d}{dx}(1/x)=e^{1/x}\cdot(-1/x^{2}). Portanto
g'(x)=-\frac{e^{1/x}}{x^{2}}.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x^{2}}{e^{1/x}} = \lim_{x\to 0^{-}}\frac{2x}{-\dfrac{e^{1/x}}{x^{2}}} = \lim_{x\to 0^{-}}\left(-2x\cdot\frac{x^{2}}{e^{1/x}}\right) = \lim_{x\to 0^{-}}\left(-\frac{2x^{3}}{e^{1/x}}\right).

Passo 4

Interpretação do resultado após L’Hôpital e conclusão para x\to 0^{-}.
Vamos analisar o sinal e a ordem de grandeza de -\dfrac{2x^{3}}{e^{1/x}} quando x\to 0^{-}:
  • Para x\to 0^{-}, x^{3}\to 0^{-} (número pequeno e negativo).
  • O fator -2x^{3} então é positivo pequeno, pois negativo vezes negativo dá positivo.
  • e^{1/x} tende a 0^{+}.
  • Logo o quociente -2x^{3}/e^{1/x} é um número positivo pequeno dividido por um número que tende a 0^{+}, o que tende para +\infty.
Portanto
\lim_{x\to 0^{-}} x^{2} e^{-1/x} = +\infty.
(Alternativa curta para intuição: fazer a substituição t=-1/x. Para x\to0^{-} tem t\to+\infty e x^{2}e^{-1/x}=(1/t^{2})e^{t}=e^{t}/t^{2}\to+\infty.)

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral.
Como
\lim_{x\to 0^{+}} x^{2} e^{-1/x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^{-}} x^{2} e^{-1/x}=+\infty,
os limites laterais são diferentes, logo o limite bilateral \lim_{x\to 0} x^{2} e^{-1/x} não existe.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} x^{2} e^{-1/x}=0
\displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} x^{2} e^{-1/x}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to 0} x^{2} e^{-1/x} não existe.

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