Calcule os limites usando L’Hôpital
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A expressão é
; não está definida em , então o que importa são os limites laterais quando e . - Preciso calcular os limites laterais e então concluir sobre o limite geral quando existir.
Observação útil (para organizar a solução): é comum aqui escrever o produto como quociente para poder aplicar regras de limite e, quando for o caso, o teorema de L’Hôpital:
Passo 2
Entendendo o comportamento para
(aproximação pela direita).
Quando
temos:
-
. -
, logo .
Assim, na forma
o numerador tende a
e o denominador tende a
. Essa é a forma
, que não é indeterminada: um número pequeno dividido por um número que cresce sem limite tende a
. Portanto
Comentário didático rápido sobre por que não se usa L’Hôpital aqui: o teorema de L’Hôpital exige
ou
. Aqui temos
, cuja conclusão é imediata (o quociente tende a
), então não é necessário (nem aplicável) L’Hôpital.
Passo 3
Análise para
(aproximação pela esquerda). Agora
é negativo e pequeno em módulo.
Para
:
-
. -
, então .
Na forma
isso dá
, uma forma indeterminada, então podemos aplicar L’Hôpital. Lembre que o teorema de L’Hôpital diz: se
e
(ou ambos infinidades) e
existe (ou é
), então
Aqui
e
. Calculamos as derivadas passo a passo:
-
. - Para
usamos a regra da cadeia: . Portanto
Aplicando L’Hôpital:
Passo 4
Interpretação do resultado após L’Hôpital e conclusão para
.
Vamos analisar o sinal e a ordem de grandeza de
quando
:
- Para
, (número pequeno e negativo). - O fator
então é positivo pequeno, pois negativo vezes negativo dá positivo. -
tende a . - Logo o quociente
é um número positivo pequeno dividido por um número que tende a , o que tende para .
Portanto
(Alternativa curta para intuição: fazer a substituição
. Para
tem
e
.)
Passo 5
Conclusão sobre o limite bilateral.
Como
os limites laterais são diferentes, logo o limite bilateral
não existe.