Calcule y^{\prime} em relação a x usando derivada implícita
y=\operatorname{arctg}(x)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (clarinho): foi dada a função \displaystyle y=\operatorname{arctg}(x). O que pedem é a derivada de y em relação a x, ou seja y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Transformar a relação para uma forma onde dá para derivar implicitamente. Como \operatorname{arctg} é a inversa de \tan, tomo \tan em ambos os lados:
\tan(y)=x.

Passo 3

Derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo temos uma função composta \tan(y(x)), então usamos a regra da cadeia: a derivada da função externa avaliada na interna multiplicada pela derivada da função interna. Um exemplo rápido da regra da cadeia: a derivada de \sin(3x) é \cos(3x)\cdot 3. Aplicando aqui:
\frac{d}{dx}\big(\tan(y)\big)=\frac{d}{dx}(x).
A derivada de \tan(u) em relação a u é \operatorname{sec}^{2}(u), e \dfrac{d}{dx}y=y'. Logo:
\operatorname{sec}^{2}(y)\,y' = 1.

Passo 4

Isolar y' algebricamente:
y'=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}(y)}.
Lembrando que \operatorname{sec}(y)=\dfrac{1}{\cos(y)}, então \dfrac{1}{\operatorname{sec}^{2}(y)}=\cos^{2}(y). Mas ainda queremos a derivada em termos de x.

Passo 5

Usar a identidade trigonométrica fundamental que relaciona \tan e \operatorname{sec}:
\operatorname{sec}^{2}(y)=1+\tan^{2}(y).
Pelo Passo 2 temos \tan(y)=x, portanto
\operatorname{sec}^{2}(y)=1+x^{2}.
Substituindo em y'=\dfrac{1}{\operatorname{sec}^{2}(y)} obtemos
y'=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 6

Observação alternativa (curtinha): também se pode pensar na fórmula da derivada de uma função inversa: se y=f^{-1}(x) então y'=\dfrac{1}{f'(y)}. Aqui f=\tan e f'(y)=\operatorname{sec}^{2}(y)=1+\tan^{2}(y)=1+x^{2}, chegando à mesma resposta. Pequenina checagem: em x=0 temos y=0 e y'(0)=1, faz sentido.

Resposta

y'=\frac{1}{1+x^{2}}

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