Calcule
em relação a
usando derivada implícita
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (clarinho): foi dada a função
. O que pedem é a derivada de
em relação a
, ou seja
.
Passo 2
Transformar a relação para uma forma onde dá para derivar implicitamente. Como
é a inversa de
, tomo
em ambos os lados:
Passo 3
Derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo temos uma função composta
, então usamos a regra da cadeia: a derivada da função externa avaliada na interna multiplicada pela derivada da função interna. Um exemplo rápido da regra da cadeia: a derivada de
é
. Aplicando aqui:
A derivada de
em relação a
é
, e
. Logo:
Passo 4
Isolar
algebricamente:
Lembrando que
, então
. Mas ainda queremos a derivada em termos de
.
Passo 5
Usar a identidade trigonométrica fundamental que relaciona
e
:
Pelo Passo 2 temos
, portanto
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Observação alternativa (curtinha): também se pode pensar na fórmula da derivada de uma função inversa: se
então
. Aqui
e
, chegando à mesma resposta. Pequenina checagem: em
temos
e
, faz sentido.