Calcule y^{\prime} em relação a x usando derivada implícita
\operatorname{sen}(x+y)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação \sin(x+y)=1 e pede para calcular y', isto é, \dfrac{dy}{dx}, usando derivada implícita.
Informações importantes fornecidas:
  • A relação entre x e y é \sin(x+y)=1.
  • Precisa-se da derivada de y em relação a x ao longo da curva definida por essa equação.

Passo 2

Ideia da derivada implícita e regra da cadeia (aula rápida). Quando y é dada implicitamente por uma equação envolvendo x e y, diferenciam-se os dois lados da igualdade em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, y=y(x)). Ao aplicar a derivada a uma composição de funções, usa-se a regra da cadeia:
  • Se u=u(x), então \dfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\cdot u', onde u'=\dfrac{du}{dx}.
  • No nosso caso u(x)=x+y(x). Assim, \dfrac{d}{dx}(x+y)=1+y', porque \dfrac{d}{dx}x=1 e \dfrac{d}{dx}y=y'.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados da equação \sin(x+y)=1 em relação a x:
\frac{d}{dx}\sin(x+y)=\frac{d}{dx}1.
Pelo que vimos na regra da cadeia e no cálculo da derivada do interior:
\cos(x+y)\cdot(1+y')=0.

Passo 4

Resolver a equação \cos(x+y)\,(1+y')=0 para y'. Há duas situações a considerar:
  • Se \cos(x+y)\neq 0, então podemos dividir por \cos(x+y) e obter
1+y'=0,
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y'=-1.

Passo 5

Tratar o caso \cos(x+y)=0. Note que da equação original \sin(x+y)=1 segue que
x+y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\text{para algum }k\in\mathbb{Z},
ou seja,
y=\frac{\pi}{2}+2k\pi - x.
Diferenciando essa expressão explícita em relação a x dá imediatamente
y'=-1.
Portanto, mesmo no caso \cos(x+y)=0 (que ocorre exatamente nos pontos da curva definida por \sin(x+y)=1), a derivada vale -1.

Passo 6

Conclusão didática: independentemente de \cos(x+y) ser zero ou não, a relação imposta por \sin(x+y)=1 implica que x+y é constante (igual a \tfrac{\pi}{2}+2k\pi), então a curva é uma família de retas y=\text{const}-x e a inclinação (derivada) é sempre -1. Se na prova fizer a derivação direta, aparecerá \cos(x+y)(1+y')=0 e vale a pena comentar por que isso leva a y'=-1 usando a razão acima.

Resposta

-1

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