Calcule
em relação a
usando derivada implícita
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para calcular
, isto é,
, usando derivada implícita.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A relação entre
e é . - Precisa-se da derivada de
em relação a ao longo da curva definida por essa equação.
Passo 2
Ideia da derivada implícita e regra da cadeia (aula rápida). Quando
é dada implicitamente por uma equação envolvendo
e
, diferenciam-se os dois lados da igualdade em relação a
, tratando
como função de
(ou seja,
). Ao aplicar a derivada a uma composição de funções, usa-se a regra da cadeia:
- Se
, então , onde . - No nosso caso
. Assim, , porque e .
Passo 3
Diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
:
Pelo que vimos na regra da cadeia e no cálculo da derivada do interior:
Passo 4
Resolver a equação
para
. Há duas situações a considerar:
- Se
, então podemos dividir por e obter
logo
Passo 5
Tratar o caso
. Note que da equação original
segue que
ou seja,
Diferenciando essa expressão explícita em relação a
dá imediatamente
Portanto, mesmo no caso
(que ocorre exatamente nos pontos da curva definida por
), a derivada vale
.
Passo 6
Conclusão didática: independentemente de
ser zero ou não, a relação imposta por
implica que
é constante (igual a
), então a curva é uma família de retas
e a inclinação (derivada) é sempre
. Se na prova fizer a derivação direta, aparecerá
e vale a pena comentar por que isso leva a
usando a razão acima.