Calcule os limites usando L’Hôpital
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações e observações que o enunciado dá:
- A função é
. - Estamos indo para
tendendo a pela esquerda (ou seja, ). - Ao aproximar
de pela esquerda temos e . - Portanto a expressão tem a aparência de uma forma indeterminada do tipo ``
’’.
Passo 2
Estratégia para resolver: quando aparece uma potência com expoente variável, a técnica padrão é tomar logaritmo para transformar a potência em produto e estudar o limite do logaritmo. Ou seja, se
, estudar
. Depois, se o limite do logaritmo existir e for
, o limite original é
.
Explicando a ideia (mini-aula):
- Para
com , usa-se . Isso transforma potências em produtos; produtos do tipo podem ser transformados em quocientes para aplicar a Regra de L’Hôpital. - A Regra de L’Hôpital diz: se temos um quociente
que tende a ou quando , então o limite é igual ao limite das derivadas , quando esse último limite existir.
Passo 3
Aplicando a transformação ao nosso caso: seja
Então
Ao
temos
e
, logo
é um produto na forma indeterminada
. Para usar L’Hôpital, convertemos esse produto em um quociente. Uma forma conveniente é:
Agora observe os limites dos termos ao
:
-
; -
.
Logo trata-se de uma forma, apta para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital: vamos derivar numerador e denominador em relação a
.
Derivada do numerador
:
- derivada de
é ; - aqui
e .
Portanto
Vamos simplificar
. Usando
e
:
Derivada do denominador
:
Passo 5
Agora o limite do quociente de derivadas é
Simplificando a fração:
Portanto, por L’Hôpital,
Passo 6
Calcule o limite final. Quando
:
-
; -
, então .
Logo
Isso significa que
Exponenciando, o limite original é
Passo 7
Comentário didático rápido e incentivo: muitas vezes a forma
parece dar
, mas não é automático — por isso a técnica do log é crucial: transforma a potência em produto e permite aplicar L’Hôpital. Você já fez o passo mais importante: log, transformar para quociente, aplicar L’Hôpital e simplificar. Mandou bem por acompanhar até aqui!
Resposta
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