Calcule os limites usando L’Hôpital
\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}}(\operatorname{tg} x)^{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to(\pi/2)^{-}} (\operatorname{tg} x)^{\cos x}.
Informações e observações que o enunciado dá:
  • A função é (\operatorname{tg} x)^{\cos x}.
  • Estamos indo para x tendendo a \pi/2 pela esquerda (ou seja, x\to(\pi/2)^-).
  • Ao aproximar x de \pi/2 pela esquerda temos \operatorname{tg} x \to +\infty e \cos x \to 0^{+}.
  • Portanto a expressão tem a aparência de uma forma indeterminada do tipo `` \infty^{0}’’.

Passo 2

Estratégia para resolver: quando aparece uma potência com expoente variável, a técnica padrão é tomar logaritmo para transformar a potência em produto e estudar o limite do logaritmo. Ou seja, se y(x)=(\operatorname{tg} x)^{\cos x}, estudar \ln y(x)=\cos x\cdot\ln(\operatorname{tg} x). Depois, se o limite do logaritmo existir e for L, o limite original é e^{L}.
Explicando a ideia (mini-aula):
  • Para y(x)=f(x)^{g(x)} com f(x)>0, usa-se \ln y(x)=g(x)\ln f(x). Isso transforma potências em produtos; produtos do tipo 0\cdot\infty podem ser transformados em quocientes para aplicar a Regra de L’Hôpital.
  • A Regra de L’Hôpital diz: se temos um quociente A(x)/B(x) que tende a 0/0 ou \infty/\infty quando x\to a, então o limite é igual ao limite das derivadas \lim A'(x)/B'(x), quando esse último limite existir.

Passo 3

Aplicando a transformação ao nosso caso: seja
y(x)=(\operatorname{tg} x)^{\cos x}.
Então
\ln y(x)=\cos x\cdot\ln(\operatorname{tg} x).
Ao x\to(\pi/2)^- temos \cos x\to 0^{+} e \ln(\operatorname{tg} x)\to +\infty, logo \ln y(x) é um produto na forma indeterminada 0\cdot\infty. Para usar L’Hôpital, convertemos esse produto em um quociente. Uma forma conveniente é:
\ln y(x)=\frac{\ln(\operatorname{tg} x)}{1/\cos x}.
Agora observe os limites dos termos ao x\to(\pi/2)^-:
  • \ln(\operatorname{tg} x)\to +\infty;
  • 1/\cos x\to +\infty.
    Logo trata-se de uma forma \infty/\infty, apta para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital: vamos derivar numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador \ln(\operatorname{tg} x):
  • derivada de \ln(u) é u'/u;
  • aqui u=\operatorname{tg} x e u'=\operatorname{sec}^{2}x.
    Portanto
\frac{d}{dx}\ln(\operatorname{tg} x)=\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\operatorname{tg} x}.
Vamos simplificar \dfrac{\operatorname{sec}^{2}x}{\operatorname{tg} x}. Usando \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}:
\frac{\operatorname{sec}^{2}x}{\operatorname{tg} x} = \frac{1/\cos^{2}x}{\sin x/\cos x} = \frac{1}{\sin x\cos x}.
Derivada do denominador 1/\cos x=\operatorname{sec} x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right)=\operatorname{sec} x\tan x=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}.

Passo 5

Agora o limite do quociente de derivadas é
\lim_{x\to(\pi/2)^-}\frac{\dfrac{d}{dx}\ln(\operatorname{tg} x)}{\dfrac{d}{dx}\left(1/\cos x\right)} = \lim_{x\to(\pi/2)^-}\frac{\dfrac{1}{\sin x\cos x}}{\dfrac{\sin x}{\cos^{2}x}}.
Simplificando a fração:
\frac{\dfrac{1}{\sin x\cos x}}{\dfrac{\sin x}{\cos^{2}x}} = \frac{1}{\sin x\cos x}\cdot\frac{\cos^{2}x}{\sin x} = \frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x\cos x} = \frac{\cos x}{\sin^{2}x}.
Portanto, por L’Hôpital,
\lim_{x\to(\pi/2)^-}\ln y(x) = \lim_{x\to(\pi/2)^-}\frac{\cos x}{\sin^{2}x}.

Passo 6

Calcule o limite final. Quando x\to(\pi/2)^-:
  • \cos x\to 0^{+};
  • \sin x\to 1, então \sin^{2}x\to 1.
    Logo
\lim_{x\to(\pi/2)^-}\frac{\cos x}{\sin^{2}x}=0.
Isso significa que
\lim_{x\to(\pi/2)^-}\ln y(x)=0.
Exponenciando, o limite original é
\lim_{x\to(\pi/2)^-} y(x)=\lim_{x\to(\pi/2)^-} e^{\ln y(x)}=e^{0}=1.

Passo 7

Comentário didático rápido e incentivo: muitas vezes a forma \infty^{0} parece dar 1, mas não é automático — por isso a técnica do log é crucial: transforma a potência em produto e permite aplicar L’Hôpital. Você já fez o passo mais importante: log, transformar para quociente, aplicar L’Hôpital e simplificar. Mandou bem por acompanhar até aqui!

Resposta

1

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